【１】立方体を小立方体に分割する

　立方体を４７個の小立方体に分割することはできない．４７より大きければ立方体を必ずその数の小立方体に分割することができるから，４７はそのような性質をもつ最大数である．

　この結果はハドヴィガー予想を解く努力の中で証明された．それは立方体が１，８，２０，３８，４９，５１，５４個の小立方体に分割できることから証明される．

　　１^3＝１^3

　　２^3＝８・１^3

　　３^3＝２^3＋１９・１^3

　　４^3＝３^3＋３７・１^3

　　６^3＝４・３^3＋９・２^3＋３６・１^3

　　６^3＝５・３^3＋５・２^3＋４１・１^3

　　８^3＝６・４^3＋２・３^3＋４・２^3＋４２・１^3

　集合｛１，８，２０，３８，４９，５１，５４｝に対して，ｍ＋ｎ−１をいう操作を繰り返し使えば，４７より大きいどんな数でも作ることができるのである．

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【２】整数生成集合

　立方体をｍ個に分割し，分割された小立方体のひとつをｎ個に分割すれば，全部でＮ＝ｍ＋ｎ−１になる．分割された小立方体のふたつをｎ個に分割すれば，全部でＮ＝ｍ＋２ｎ−２になる．分割された小立方体のｋ個をｎ個に分割すれば，全部でＮ＝ｍ＋ｋｎ−ｋ＝ｍ＋ｋ（ｎ−１），ｋ≦ｍになる．

　これで，４０＜Ｎ＜６０の範囲を検索してみる．４９，５１，５４は除くが，

４１＝２０＋３（８−１）

４３＝８＋５（８−１）

４５＝８＋（３８−１）

４５＝３８＋（８−１）

４６＝８＋２（２０−１）

４８＝２０＋４（８−１）

５０＝８＋６（８−１）

５２＝３８＋２（８−１）

５５＝２０＋５（８−１）

５６＝８＋（４９−１）

５６＝４９＋（８−１）

５７＝８＋８（８−１）

５７＝２０＋（３８−１）

５７＝３８＋（２０−１）

５８＝８＋（５１−１）

５８＝２０＋２（２０−１）

５８＝５１＋（８−１）

５９＝３８＋３（８−１）

　４７個に分割することはできないことが確かめられたが，同時に，５３個に分割することもできない．しかし，このほかに，さらに分割することも考えられる．

　　ｍ＋ｋ（ｎ−１）＋ｋ’（ｎ’−１），ｋ’≦ｋｎ

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【３】差分集合

　集合｛１，８，２０，３８，４９，５１，５４｝は４７より大きい数の整数生成集合であるが，それをどうやって証明したらいいのだろうか？

　多分，この差分集合．

　　｛１，８−１，２０−８，３８−２０，４９−３８，５１−４９，５４−５１｝

＝｛１，７，１６，１８，１１，２，３｝

を考えることになるのだろうが，次回の宿題としたい．

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