［１］Ｎk^(n+1)＝Σ(0,m)m+1Ｃj+1Ｎk-j^(n)

［２］Ｎk^(m+1)＝Σ(0,n)n+1Ｃj+1Ｎk-j^(m)

は等しくなるであろうか？

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　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1，ｎ≧ｍとする．

［１］Σ(0,m)m+1Ｃj+1・n+1Ｃk-j+1

＝m+1Ｃ1・n+1Ｃk+1＋m+1Ｃ2・n+1Ｃk＋m+1Ｃ3・n+1Ｃk-1＋m+1Ｃ4・n+1Ｃk-2＋・・・

ｊ＞ｍ，ｋ−ｊ＋１＜０，すなわち，ｊ＞ｍ，ｊ＞ｋ＋１となる前までの和をとる．→ｊ＝ｋまでの和をとる

［２］Σ(0,n)n+1Ｃj+1m+1Ｃk-j+1

＝n+1Ｃ1・m+1Ｃk+1＋n+1Ｃ2・m+1Ｃk＋n+1Ｃ3・m+1Ｃk-1＋n+1Ｃ4・m+1Ｃk-2＋・・・

ｊ＞ｎ，ｋ−ｊ＋１＜０，すなわち，ｊ＞ｎ，ｊ＞ｋ＋１となる前までの和をとる．→ｊ＝ｋまでの和をとる

　そてであれば，

［１］Ｎk^(n+1)＝Σ(0,k)m+1Ｃj+1Ｎk-j^(n)

［２］Ｎk^(m+1)＝Σ(0,k)n+1Ｃj+1Ｎk-j^(m)

となって，

［１］Σ(0,k)m+1Ｃj+1・n+1Ｃk-j+1

＝（ｍ＋１）！／（ｊ＋１）！（ｍ−ｊ）！・（ｎ＋１）！／（ｋ−ｊ＋１）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！

［２］Σ(0,k)n+1Ｃj+1・m+1Ｃk-j+1

＝（ｎ＋１）！／（ｊ＋１）！（ｎ−ｊ）！・（ｍ＋１）！／（ｋ−ｊ＋１）！（ｍ−ｋ＋ｊ）！

　したがって，

Σ(0,k)（ｍ−ｊ）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！＝Σ(0,k)（ｎ−ｊ）！（ｍ−ｋ＋ｊ）！かどうかを問う問題となった．

左辺はｍ！（ｎ−ｋ）！＋・・・＋（ｍ−ｋ）！ｎ！

右辺はｎ！（ｍ−ｋ）！＋・・・＋（ｎ−ｋ）！ｍ！

となり，

［１］Ｎk^(n+1)＝Σ(0,k)m+1Ｃj+1Ｎk-j^(n)

［２］Ｎk^(m+1)＝Σ(0,k)n+1Ｃj+1Ｎk-j^(m)

は等しいことがわかる．

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