ａ−ｂ柱とｂ−ａ柱は等しい．

［１］Ｎk^(n+m)＝（ｍ＋１）Ｎk^(n)＋ｍＮk-1^(n-1)

　　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

と

［２］Ｎk^(m+n)＝（ｎ＋１）Ｎk^(m)＋ｎＮk-1^(m-1)

　　　Ｎk^(m)＝m+1Ｃk+1

も等しくなるはずであるが，確かめてみよう．

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［１］（ｍ＋１）n+1Ｃk+1＋ｍ・nＣk

［２］（ｎ＋１）m+1Ｃk+1＋ｎ・mＣk

　　n+1Ｃk＝nＣk-1＋nＣk

より，

　　n+1Ｃk+1＝nＣk＋nＣk+1

［１］（ｍ＋１）（nＣk＋nＣk+1）＋ｍ・nＣk＝（２ｍ＋１）nＣk＋（ｍ＋１）nＣk+1

　これが有効に働くかどうかは不明である．どうやら直接計算したほうが速そうだ．そこで，

［１］（ｍ＋１）n+1Ｃk+1＋ｍ・nＣk

＝（ｍ＋１）（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！／（ｎ＋１）！＋ｍ・ｋ！（ｎ−ｋ）！／ｎ！

［２］（ｎ＋１）m+1Ｃk+1＋ｎ・mＣk

＝（ｎ＋１）（ｋ＋１）！（ｍ−ｋ）！／（ｍ＋１）！＋ｎ・ｋ！（ｍ−ｋ）！／ｍ！

　ｋ！で割って

　（ｍ＋１）（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）！／（ｎ＋１）！＋ｍ・（ｎ−ｋ）！／ｎ！

＝（ｎ＋１）（ｋ＋１）（ｍ−ｋ）！／（ｍ＋１）！＋ｎ・（ｍ−ｋ）！／ｍ！

　ｎ≧ｍとしても一般性を失わない．（ｎ＋１）！／（ｍ−ｋ）！を掛けると

　（ｍ＋１）（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）・・・（ｎ−ｍ＋１）＋ｍ（ｎ＋１）（ｎ−ｋ）・・・（ｎ−ｍ＋１）

＝（ｎ＋１）（ｋ＋１）（ｎ＋１）・・・（ｎ−ｍ＋１）＋ｎ・（ｎ＋１）・・・（ｎ−ｍ＋２）

　｛（ｍ＋１）（ｋ＋１）＋ｍ（ｎ＋１）｝（ｎ−ｋ）・・・（ｎ−ｍ＋１）＝｛（ｎ＋１）（ｋ＋１）（ｎ−ｍ＋１）＋ｎ｝（ｎ＋１）・・・（ｎ−ｍ＋２）

　｛（ｍ＋１）（ｋ＋１）＋ｍ（ｎ＋１）｝（ｎ−ｍ＋１）

＝｛（ｎ＋１）（ｋ＋１）（ｎ−ｍ＋１）＋ｎ｝（ｎ＋１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

これが成り立つとは思えないが，たとえば，ｋ＝０とすると

左辺＝｛（ｍ＋１）＋ｍ（ｎ＋１）｝（ｎ−ｍ＋１）＝（ｍｎ＋２ｍ＋１）（ｎ−ｍ＋１）

右辺＝｛（ｎ＋１）（ｍ−ｎ＋１）＋ｎ｝（ｎ＋１）

　となると，（その２）の結果は正しいのだろうか？

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