置換多面体の正軸体版の場合を述べてきたが，置換多面体の場合も

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^n-1/2／２^n/2

はわかっているものの，この式が証明できたわけではない．

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　置換多面体の体積公式（角錐分解公式）は

　　Ｖn＝ΣＮjＨj／ｎ・Ｖn-j-1Ｖj

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

で与えられる．

　　Ｖj＝（ｊ＋１）^j-1/2／２^j/2

であれば，

　　Ｖn-j-1＝（ｎ−ｊ）^(n-j-1)-1/2／２^(n-j-1)/2

　　Ｖn-j-1Ｖj＝（ｊ＋１）^j-1/2（ｎ−ｊ）^(n-j-1)-1/2／２^(n-1)/2

　　ＨjＶn-j-1Ｖj＝（ｊ＋１）^j（ｎ−ｊ）^n-j-1／２^(n-1)/2・｛（ｎ＋１）／８｝^1/2

　　Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k｛（ｎ＋１）／８ｎ^2｝^1/2，ｋ＝０〜ｎ−１

＝｛（ｎ＋１）／８ｎ^2｝^1/2・Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k

　　Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k）（ｋ＋１）^k+1，ｋ＝０〜ｎ−１

＝２^(n+1)−２

であるが，

　　Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k

は不明．

　そのため，

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^n-1/2／２^n/2

が成り立つことは自力で証明はできなかったが，数式処理ソフトで確認してある．

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