球面三角法の公式は多数ありますが，計算に便利なように単位球における式として与えられています．平面三角形の余弦定理に該当する

　　ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ・ｃｏｓＣ

とその巡回置換，それに球面三角形ＡＢＣの面積Ｓを角過剰として表した

　　Ｓ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π

を用いて，正四面体，正八面体，正二十面体の辺が中心においてなす角を求めてみたい．

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　　ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ＝ｃｏｓｂ，Ｃ＝Ａ＝Ｂ

ですから

　　ｃｏｓＣ＝（ｃｏｓｃ−ｃｏｓ^2ｃ）／ｓｉｎ^2ｃ

　　　　　　＝ｃｏｓｃ／（１＋ｃｏｓｃ）

　　Ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（ｃｏｓｃ／（１＋ｃｏｓｃ））

　Ｃ＝Ａ＝Ｂですから，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３Ｃ．したがって，球面三角形ＡＢＣの面積Ｓ3は

　　Ｓ3＝３Ｃ−π

で与えられることがわかります．

　また，それぞれ，

　　４Ｓ3＝４π（全表面積）

　　８Ｓ3＝４π（全表面積）

　　２０Ｓ3＝４π（全表面積）

ですから，

　　Ｃ＝２π／３（正四面体）→ｃｏｓｃ＝−１／３（１０９．５°で，ダイヤモンド結晶の隣りあった原子間の角度）

　　Ｃ＝π／２（正八面体）→ｃｏｓｃ＝０（９０°）

　　Ｃ＝２π／５（正二十面体）→ｃｏｓｃ＝１／√５

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