［１］プラトン立体は外接球，中接球，内接球をもつ．

［２］アルキメデス立体は外接球，中接球をもつが，内接球はもたない．

［３］カタラン立体は内接球をもつが，外接球，中接球はもたない．

　このことは，正多面体の対称性の高さを物語っている．ところで，球に正四面体の手錠をかけるとは，正四面体の６辺がすべて半径１の球に接している状態のことである．

　このとき

［Ｑ１］正四面体の１辺の長さは？

［Ｑ２］正四面体の外側で球の内側の体積は？

［Ａ１］球に外接し，かつ，正四面体に外接する立方体（１辺の長さ２）を考える．立方体の４頂点をひとつおきにつなぐと正四面体ができるから，正四面体の１辺の長さは２√２となる．

［Ａ２］立方体の重心（１，１，１），正四面体の正三角形面の重心（２／３，２／３，２／３），その距離は１／√３である．

　半径１の円の１／√３≦ｘ≦１の部分をｘ軸の周りに回転させてできる図形４個分の体積は

　　４π∫（１−ｘ^2）ｄｘ＝（８／３−３２√３／２７）π

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