面の形は変わらずに二面角が変わる連続的な運動を「多面体の折り曲げ」という．１８１３年，コーシーはどんな凸多面体でも折り曲げ不可能なことを証明した（剛性定理）．１８９７年，ブリカールは折り曲げ可能な閉多面体が存在することを証明し，とくに折り曲げ可能８面体については３型に分類されることを述べている．
形状が変わる凹多面体をはじめてみつけたのはブリカールだが，その多面体では面同士が互いに貫通した自己交差をもつものであった．そのため，面を取り除き，辺を針金細工にしなければ実際に作ることはできなかった．
形状の変わる性質を保ったまま面同士が貫通しないもの（すなわち３次元空間に埋め込まれたもの）を見つけたのは１９７０年代のコネリーで，１９７８年にはシュテッフェンにより９つの頂点と１４の三角形面からなる最も単純な折り曲げ可能多面体が考案されている（それでもなおシュテッフェン多面体の体積に対する多項式をパソコンで求めることはできないという）．
コラム「変形する多面体とふいご予想」に掲げたデルタ２０面体の写真を最掲する．２個の重五角錐が直角に交わったようなデルタ２０面体は，一方の重五角錐を押しつぶすともう一方の重五角錐が膨らむ「変形するデルタ多面体」と書いたところ，A-11さんより疑義のメールを頂いた．
今回のコラムではA-11さんの結果を追試してみることにするが，結論を先にいうと，変形するデルタ２０面体は面の形を変えずに連続的に変形するという多面体ではなくて，３つの安定した形状をとるという多面体という意味であって，安定した形状から別の安定した形状への移行中には面は微かに曲がらなければならないというのが正しい理解のようである．
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【１】重五角錐の高さ
ここでは，１辺の長さを１とする重五角錐の高さｈを求めてみることにする．ピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができると思われるが，
１／（３−ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ３６°＝（５−２√５）^(1/2)
より
ｈ＝１．０５１４６
となった．
ところで，正四面体の二面角は
ｃｏｓθ＝１／３ → θ＝７０．５２８８°＜７２°
であるから，同じ大きさの正四面体を互いに１つの稜の周りに集めるとき，最大５個の正四面体を集めることができる．このことからも，ｈ＞１となることが予測できる．もしデルタ２０面体が連続的に変形可能な多面体であるならば，ｈ＞１より一方の重五角錐を完全に押しつぶすことができることもわかるだろう．
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【２】重五角錐の開口関数
重五角錐に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重五角錐が得られる．以下の写真は，その高さを減らすように押しつぶすと口の部分が開くというモデルであり，口の開いた重五角錐を２つ作り，両者を口の部分で直角に繋げたものが冒頭の写真である．
一方の開口重五角錐の高さｈから開口の大きさｗを求める．式はピタゴラスの定理から簡単に求められ，
ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（５ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）
これは他方の開口重五角錐の高さとなるから，
ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（５ａｒｃｔａｎ（３−ｗ^2）^-1/2）
ここで，２つの開口重五角錐が歪みなしに接合できるための条件は
ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ）） ｈ：０〜１．０５１４６
である．畏友・阪本ひろむ氏にｇ（ｆ（ｈ））のテイラー級数を計算してもらったところ，
ｇ（ｆ（ｈ））＝．１２８３＋１．７４８０９ｈ^2−１．４１０９７ｈ^4＋．４８８９３５ｈ^6＋．０００３０９５３５ｈ^8−．２４８２３９ｈ^10＋．３０５３２９ｈ^12−．２８７３１５ｈ^14＋・・・
となった．
ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））のグラフを描いてみると，交点が３箇所あることがわかる．大雑把に数値計算してみると，
ｘ＝０．１４２４，ｘ＝０．６５４５，ｘ＝０．９８４７
が近似解となる．
これらは不連続であるから体積が連続した値を取りながら変わっていくことはないし，連続的に変えていくには面を曲げたり歪めたりする必要があることを意味している．
同じ長さの辺をもつ体積の異なる多面体の例として，屋根（あるいは床）付きのダンボール箱があげられる．出っ張った屋根を中に押し込めば辺の長さは変わらないのに体積はかなり小さくなる．これは２つの安定した形状をとる多面体の例として日常的によく見られるものである．
それに対して，デルタ２０面体は３つの安定した形状をとる多面体となっている．すなわち，A-11さんの主張はまったく正しく「変形するデルタ２０多面体」は「折り曲げ可能多面体」ではないのである．
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【３】ふいご予想の証明
すべての面を三角形であるとして，辺の長さによる体積公式が存在することが証明されています．それらは公式というよりはある代数方程式の根として得られます．
多項式はいくつかの異なる解をもちますから，ひとつの解からもう一つの解へと一瞬に体積をかえることができますが，折り曲げに際して多面体は連続的に変形されるので，体積もまた変形のパラメータの連続関数にならなければなりません．しかし，有限個の値しか取らない連続関数は定数でなければならず，体積がいきなり別の値になることはないのです．
かくして，ふいご予想すなわち折り曲げ可能多面体が面の形を変えずに変形しても体積は変わらないことが証明されています（１９９７年，コネリー，ワルツ，サビトフ）．形状の変わる折り曲げ可能多面体では体積は変化しないのでふいごは風を送れない，ふいごとして使えないという定理が成り立つというわけです．
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【４】雑感
Mathematica関連書籍
ワゴン「Mathematicaによる現代数学探究」基礎編，ｐ２２
に載っている記事で，
Sin[x]+ArcSin[x] = 2x
というのがある．この式はむろん正しくないのだが，−０．８から０．８までプロットすると本当に直線のように見える（−１から１までプロットすれば直線でないことはわかるのだが・・・）．
Sin[x]+ArcSin[x]の０周りのテイラー級数（マクローリン級数）を調べると
2x+x^5/12+2x^7/45+5513x^9/181440+2537x^11/113400+4156001x^13/239500800+･･･
すなわち，３次の項が偶然の相殺され，関数が直線に近いものになっていることが判明した．５次以降の項は係数が小さいことから［−０．８，０．８］の区間では非常に小さいものとなる．グラフを描画しているときに，たまたま上記の式が成り立つようなグラフが得られたそうだ．
「変形するデルタ２０面体」を初めて模型にしたのはマイケル・ゴールドバーグで，この多面体が３つの安定した形状をとることは既に知られていたようである．彼がこの多面体を発見したのは偶然ではないと思われるが，私はいまたまたま彼の他の論文を読んでいる．この論文もまた非常に面白いものである．別の機会に紹介したいと思う．
なお，ブリカールは単純な多面体の辺同士を次々と繋げ，その接合部が動く鎖を考え出した．偶数個の正四面体を対辺で繋げると，６個のときは僅かしか動けないが８個以上になると連続して回転できるようになる．２２個以上なら結び目を作ることさえできる．→コラム「連続回転する多面体の輪」参照
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