正１２０胞体のひとつの頂点を原点に移すと，１辺の長さ２の正１２０胞体の基本単体の座標は，

　　ａ1＝１，ａ2＝√τ（ｔ^2＋１）／５，ａ3＝τａ2，ａ4＝τ^4

と表すことができる．

　あとはわかればよいのは，正１２０胞体の高さではなく，角錐の高さＨである．

　座標（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，Ｈ）

と

　（０，０，０，０）との距離が２であるから，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2＋ａ4^2＋Ｈ^2＝４

　４次元でも存在できないから，５次元でもＮＧでことがわかる．

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【補】正１２０胞体

　４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は，σ＝（３√５＋１）／２，σ’＝（３√５−１）／２とおくと，正６００胞体の頂点を含む（±２，±２，±２，±２），（±４，０，０，０），（０，±４，０，０），（０，０，±４，０），（０，０，０，±４），（±２τ，±２，±２／τ，０）２１６点と（√５，√５，√５，１），（τ^2，τ^2，√５／τ，１／τ），（σ、１／τ，１／τ，１／τ），（τ√５，τ，１／τ^2，１／τ^2）に偶数個の負号をつけた点の置換２５６点，（σ’，τ，τ，τ），（３，√５，１，１）に奇数個の負号をつけた点の置換１２８点で与えられる．１辺の長さ√２（３−√５）＝２√２／τ^2，外接球の半径４．

　　Ｌ1＝√（２８−１２√５），Ｎ1＝４

　　Ｌ2＝√（１２−４√５），Ｎ2＝１２

　　Ｌ3＝√（２４−８√５），Ｎ3＝２４

　　Ｌ4＝２√２，Ｎ4＝１２

　　Ｌ5＝√（３６−１２√５），Ｎ5＝４

　　Ｌ6＝√（２０−４√５），Ｎ6＝２４

　　Ｌ7＝√（３２−８√５），Ｎ7＝２４

　　Ｌ8＝４，Ｎ8＝３２

　　Ｌ9＝√（２８−４√５），Ｎ9＝２４

　　Ｌ10＝√（１２＋４√５），Ｎ10＝１２

　　Ｌ11＝√（４０−８√５），Ｎ11＝２４

　　Ｌ12＝２√６，Ｎ12＝２８

　　Ｌ13＝√（３６−４√５），Ｎ13＝２４

　　Ｌ14＝√（２０＋４√５），Ｎ14＝２４

　　Ｌ15＝４√２，Ｎ15＝５４

　　Ｌ16＝√（４４−４√５），Ｎ16＝２４

　　Ｌ17＝√（２８＋８√５），Ｎ17＝２４

　　Ｌ18＝２√１０，Ｎ18＝２８

　　Ｌ19＝√（２４＋８√５），Ｎ19＝２４

　　Ｌ20＝√（５２−４√５），Ｎ20＝１２

　　Ｌ21＝√（３６＋４√５），Ｎ21＝２４

　　Ｌ22＝４√３，Ｎ22＝３２

　　Ｌ23＝√（３２＋８√５），Ｎ23＝２４

　　Ｌ24＝√（４４＋４√５），Ｎ24＝２４

　　Ｌ25＝√（２８＋１２√５），Ｎ25＝４

　　Ｌ26＝２√１４，Ｎ26＝１２

　　Ｌ27＝√（４０＋８√５），Ｎ27＝２４

　　Ｌ28＝√（５２＋４√５），Ｎ28＝１２

　　Ｌ29＝√（３６＋１２√５），Ｎ29＝４

　　Ｌ30＝８，Ｎ30＝１

　　Ｖ＝６００，Ｋ＝１／１６

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