コラム「和算にまなぶ（その３）」の定理は，４次元にも拡張することできることがわかったが，もうひとつの拡張する方向として，３次元の三角柱と三角錐，五角柱と五角錐にも成り立つことがわかっている．

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　ｎ−１次元正単体を底面とし，正単体と同じ長さの辺からなる角錐を側面とするｎ次元角錐の高さを求めてみたい．

　たとえば，１辺の長さが１のｎ次元正単体の頂点の座標は

　　（−１／２，−√３／６，−√６／１２，−１／２√１０，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　（１／２，−√３／６，−√６／１２，−１／２√１０，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　（０，√３／３，−√６／１２，−１／２√１０，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　（０，０，√６／４，−１／２√１０，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　（０，０，０，√２／５，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，０，０，・・・，１／√ｎ／２（ｎ＋１））

で定められる．

　計算の便宜のため，ひとつの頂点を原点に移すと，１辺の長さ２の正単体の基本単体の座標は，

　　ａk＝√２／ｋ（ｋ＋１），ｋ＝１〜ｎ

と表すことができる．角錐の高さは（ｎ＋１）ａnで与えられるが，次元をひとつて，ｎ＋１次元空間内で考えなければならない．

　座標（ａ1，ａ2，・・・，ａn-1，ａn，Ｈ）

と（０，０，・・・，０，０，０）の距離は

　　（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＋Ｈ^2）^1/2＝２

　したがって，存在可能な空間は

　　Ｈ^2＝４−（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

＝４−Σ２／ｋ（ｋ＋１）

＝４−２Σ（１／ｋ−１／（ｋ＋１））

＝４−２（１−１／（ｎ＋１））

＝２＋１／（ｎ＋１）＞０

　座標（ａ1，ａ2，・・・，ａn-1，ａn，Ｈ−２）と（０，０，・・・，−２）との距離は

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＋Ｈ^2＝４

より，２となる．

　したがって，ｎ次元では正単体柱の上に同じ長さの辺からなる正単体を載せた立体の頂点は同じ球面上に存在する．

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