１＋３＋５＋７＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

　（ｎ−１）^2＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

　　２ｎ−１＝ｍ^2，すなわち，平方数のとき，ｎ＝（ｍ^2＋１）／２

　｛（ｍ^2−１）／２｝^2＋ｍ^2＝｛（ｍ^2＋１）／２｝^2

が得られるというのが（その７）であった．

　ｍは３以上の奇数であるから，

　　ｍ＝３→（３，４，５）

　　ｍ＝５→（５，１２，１３）

　　ｍ＝７→（７，２４，２５）

　　ｍ＝９→（７，４０，４１）

　　ｍ＝１９→（１９，１８０，１８１）

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【１】ヒポクラテスの月形

　ピタゴラスの三つ組みに関係したものとして，ヒポクラテスの月形があげられる．これは円弧で囲まれた２つの月形の面積の和が直角三角形の面積に等しくなるというものである．

　ピタゴラスの定理の応用として，正方形の替わりに半円を考えます．すると，直角三角形の面積は直角三角形の辺上に描かれた２つの月形の面積の和に等しいというものがあることはご存知でしょう．この結果は「ヒポクラテスの定理」あるいは「ヒポクラテスの三日月」と呼ばれるのですが，非直線図形と直線図形の大きさの間に成り立つ等式としてなかなかの深みが感じれらます．

　三日月の面積が直角三角形の面積に等しくなったので，彼はギリシア三大問題である円積問題（円と等しい面積の正方形を定規とコンパスで作図する）を解決できたと思いこんだようです．

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