■n次元正単体の高さ

 三角形の面積は底辺かける高さ割る2であるが,三角錐になると底面積かける高さ割る3,四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る4,五次元なら底四次元面積かける高さ割る5・・・.

 正単体の体積を求めるにあたって問題となるのは,その高さである.

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 高さを求めるために,n次元正単体の頂点の座標を

  (1,0,・・・,0)

  (0,1,・・・,0)

  ・・・・・・・・・・・

  (0,0,・・・,1)

  (x,x,・・・,x)

とする.稜の長さが√2の正単体であるから,

  x={1−√(1+n)}/n

とすることができる.

 これらの座標が与えられたとき,底面

  (1,0,・・・,0)

  (0,1,・・・,0)

  ・・・・・・・・・・・

  (0,0,・・・,1)

の重心は

  (1/n,1/n,・・・,1/n)

であるから,頂点

  (x,x,・・・,x)

との距離(高さ)Hnは,

  Hn=√(1+1/n)

で与えられることになる.

 したがって,漸化式

  Vn=Vn-1×Hn/n

より,

  Vn=√(1+n)/n!

を得ることができる.

 V2=√3/2,V3=1/3,・・・

となるが,V2,V3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるであろう.

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