ｎ−１次元立方体を底面とし，立方体と同じ長さの辺からなる角錐を側面とするｎ次元角錐の高さを求めてみたい．

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　ｎ次元立方体の上面の頂点の座標を

　　（±１，±１，・・・，±１，１）

とする．稜の長さが２の立方体である．

　角錐の頂点の座標を

　　（０，０，・・・，０，Ｈ）

とすると，

　　｛（ｎ−１）＋（Ｈ−１）^2｝^1/2＝２

　　Ｈ＝１＋（５−ｎ）^1/2

このような角錐は，５次元以上では存在しない．

　角錐の高さは

　　ｈ＝（５−ｎ）^1/2

となる．

　ｈ2＝√３，ｈ3＝√２，・・・

となるが，ｈ2，ｈ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるであろう．

　　（０，０，・・・，０，Ｈ−２）

と，ｎ次元立方体の下面の頂点

　　（±１，±１，・・・，±１，−１）

との距離は

　　｛（ｎ−１）＋（Ｈ−１）^2｝^1/2＝２

より，２となる．

　したがって，２，３，４次元では立方体の上に立方体と同じ長さの辺からなる角錐を載せた立体の頂点は同じ球面上に存在する．

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　三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．

　角錐の底面積（低体積）は１であるから，

　　Ｖn＝ｈn／ｎ

より，

　　Ｖn＝（５−ｎ）^1/2／ｎ

を得ることができる．

　Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝√２／３，・・・

となる．

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