■求積の多様性を考える(その29)

 (その20)−(その22)では円柱n本を交差させてみた.ここでは球と円柱を交差させてみる.

 半径1の球:x^2+y^2+z^2=1が半径1/2の平行な円筒2つ:(x−1/2)^2+y^2=(1/2)^2,(x+1/2)^2+y^2=(1/2)^2によって切り取られる体積の問題(ビビアーニの球面)を紹介したい.ビビアーニはガリレオの弟子.

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【1】ビビアーニの球面

 円筒がひとつならば球との交線は空間8の字曲線を描くことになる.とはいっても図が複雑すぎてここに描くことができない.

 答えだけを紹介することになるのだが,一般に球の半径をrとすると残った球の体積は128r^3/9,残った球の表面積は32r^2になる.球の問題なのにπはつかないのである.

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【2】ビビアーニ曲線の弧長

 実はこの曲線をyz平面に射影するとレムニスケートになる.

  y^2=z^2−z^4

第1象限(x≧0,y≧0,z≧0)の曲線の長さは1/4になる.

  y=√(x−x^2),z=√(1−x)

  dy/dx=(1−2x)/√(x−x^2)

  dz/dx=−1/√(1−x)

  L=4∫(0,1)(1+(dy/dx)^2++(dz/dx)^2)^1/2

 =4∫(0,1)((1+x)/4x(1−x))^1/2dx

x=cos^2θと変数変換すると

  L=4∫(0,π/2)(1+cos^2θ)^1/2dθ

 これは楕円積分であって,楕円:x^2/2+y^2=1の周長に等しい.

  x=√2sinθ,y=cosθ

と媒介変数表示すると

  dx/dθ=√2cosθ,dy/dθ=−sinθ

  L=4∫(0,π/2)((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)^1/2=4∫(0,π/2)(1+cos^2θ)^1/2dθ

となるからである.

 この楕円は半径1の円と半径√2の円に挟まれているので,2つの円周の平均をとって

  (1+√2)π=2.41421356・・・π

と近似できるが,より高い精度の近似値を求めてみると

  (√2+√6+√(6+√2)+√(6−√2)+1)/4π=2.4320134・・・π

  [参]佐久間一浩「高校数学と大学数学の接点」日本評論社

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[補]x^2/a^2+y^2/b^2=1の周長

  L=∫(0,2π)(a^2+(a^2−b^2)cos^2θ)^1/2dθ

a≠bのとき,根号が外せない.

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