【１】グレゴリー・ライプニッツ級数

　　１／（１＋ｘ）＝１−ｘ＋ｘ^2 −ｘ^3 ＋・・・

これを項別積分すると

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ^2 ＋１／３ｘ^3 −１／４ｘ^4 ＋・・・

が得られます。ここで、ｘをｘ^2 に置き換えると

　　１／（１＋ｘ^2 ）＝１−ｘ^2 ＋ｘ^4 −ｘ^6 ＋・・・

これを項別積分して

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3 ＋１／５ｘ^5 −１／７ｘ^7 ＋・・・

　両辺にｘ＝１を代入すると、グレゴリー・ライプニッツ級数

　　π／４＝ａｒｃｔａｎ１＝１／１−１／３＋１／５−１／７＋・・・

が得られます。

　グレゴリー・ライプニッツ級数が発見されたとき、この公式を変形すればπが有理数であることが証明できるのではないかという期待があったらしいのですが、もちろんそのようなことはありえません。円周率が無理数であり、したがって循環小数ではないことは、微分積分学の初歩的な操作によって証明されています。

　フーリエ級数をご存じの方であれば、

　　ｘ＝２（ｓｉｎｘ−１／２ｓｉｎ２ｘ＋１／３ｓｉｎ３ｘ−・・・）

にｘ＝π／２を代入すると

　　π／４＝１／１−１／３＋１／５−１／７＋・・・

となり、再びグレゴリー・ライプニッツの級数の和が求まります。

　同様にしてフーリエ級数展開より、

　　｜ｘ｜＝π／２−４／π（ｃｏｓｘ＋１／３^2 ｃｏｓ３ｘ＋１／５^2 ｃｏｓ５ｘ＋・・・）

ｘ＝０を代入すると

　　π2 ／８＝１／１2 ＋１／３^2 ＋１／５^2 ＋１／７^2 ＋・・・

　オイラーが得た値：ζ（２）＝Σ１／ｎ^2 ＝π^2 ／６はこの式から次のようにして求まります。

　　１＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・

＝（１＋１／２^2 ＋１／４^2 ＋・・・）（１＋１／３^2 ＋１／５^2 ＋・・・）＝１／（１−１／４）・π^2 ／８

＝π^2 ／６

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