「πは３．０５より大きい」

　arctan（ｘ）のテイラー展開公式は

　　arctan（ｘ）＝ｘ−１／３・ｘ^3＋１／５・ｘ^5−・・・

である．

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　１７世紀になってイギリスのニュートン，ドイツのライプニッツによる微分積分学の確立以降は，収束する無限級数を使ってπの計算がなされました．πと関連をもつ無限級数として最初に発見されたものは，１６７１年に発見されたグレゴリー・ライプニッツ級数

　π／４＝arctan１

　　　　＝１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・

＝Σ（−１）^n-1 ・１／（２ｎ＋１）

があげられます．ライプニッツはπ／４がすべての奇数の逆数を交互に加えたり引いたりしてえられる無限級数の和に一致するという事実に対して「神は奇数で楽しむ」と書いていて，この式に自然の神秘の深遠さを感じ，外交官への道から数学の研究の道に転じたといわれています．

　arctan１＝π／４を利用したこの展開公式は簡単な形の式ですが，ゆっくりとしか収束しないので，２０項まで計算しても３．０４２までしか求まらないし，３．１４まで一致するのに３００項も必要です．第ｎ項まで計算したときの誤差は大体１／（２ｎ＋３）になり，１０００項まで計算してもせいぜい３桁ぐらいです．

　　「πは３．０５より大きい」を出すために，１１項を要する．

　したがって，グレゴリー・ライプニッツ級数はπの近似値を求めるのには実用的ではないのですが，この式の右辺は

　（１＋１／３）^-1・（１−１／５）^-1・（１＋１／７）^-1・（１−１／１１）^-1・（１＋１／１３）^-1・・・

というように素数についての積の形に書き直すことができます．

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　グレゴリー・ライプニッツ級数は項数をのばすごとにπの上下の限界を示しうるものですが，収束の緩慢な点が致命的でした．そこで，オイラーは，公式

arctanａ＋arctanｂ＝arctan（（ａ＋ｂ）／（１−ａｂ））

を使ってグレゴリー・ライプニッツ級数よりもっと速く収束する次のような無限級数を作っています（１７３７年）．

　π／４＝arctan１

　　　　＝arctan（１／２）＋arctan（１／３）

　　　　＝（１／２−１／３・２^3 ＋１／５・２^5 −１／７・２^7 ＋・・・）＋（１／３−１／３・３^3 ＋１／５・３^5 −１／７・３^7 ＋・・・）

　この級数はグレゴリー・ライプニッツ級数ほどは悪くありませんが，それでもなお良い値がでるまでの計算回数は多くなります．

　また，オイラー級数Σ１／ｎ^s の収束の精度も良くありません．オイラーの第１級数

１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・＝π^2 ／６

を使って，π^2 ／６を小数点以下７桁まで正確に求めるためには，だいたい１０００万項までの計算が必要になります．

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　πを計算するための無限級数のうちでもっともポピュラーなものはニュートンと同時代のマーチンによって発見された次のような式です（１７０６年）．

　π／４＝４arctan（１／５）−arctan（１／２３９）

＝４（１／５−１／３・５^3 ＋１／５・５^5 −１／７・５^7 ＋・・・）−（１／２３９−１／３・２３９^3 ＋１／５・２３９^5 −・・・）

　第２項の級数は非常に収束が速く，第１項の級数も１／５^2 ＝０．０４ぐらいの比で次々に小さくなりますから，数値計算に十分使えます．マーチンの級数の計算誤差は４／（２ｎ＋３）・（１／５）^2n+3ぐらいで，マーチン自身はこの公式のよってπの値を１００桁ほど求めました．計算機のない時代のことですから，当然手計算であって神業ともいうべき話です．

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