円柱を３本にすると同じように得られる曲面立体についてはより複雑になる．

［Ｑ］３本の円柱が直角に交差しているとき，その共通部分の体積は？

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【１】相貫３円柱

（Ａ）半径が等しい３つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分は立方八面体の双対である菱形１２面体を丸く膨らましたような形で１２の曲面で囲まれた立体になる．その体積は円柱の直径をｄとすると

　　（２−√２）ｄ^3

になる．

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【２】相貫４円柱

（Ａ）半径が等しい４つの円柱を中心軸が正４面体の対称性をもって相貫させたとき，その共通部分は菱形立方八面体の双対である凧型２４面体を丸く膨らましたような形で２４枚の側面をもつ．その体積は円柱の直径をｄとすると

　　３√２／２（２−√３）ｄ^3

になる．

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【３】相貫６円柱

　３次元空間内では互いに直交する直線は３本とれるが，交角が９０°でなければもっと多くの直線をとることができる．

　たとえば，正２０面体の最長対角線を６本とることができるが，これが３次元空間で実現できる最大本数である．

　ｎ次元空間では等角ｘ軸構造は

　　（ｎ＋１，２）＝ｎ（ｎ＋１）／２

を超えないことがわかっている．ｎ＝３のとき，６となる．

　これはｎ次元置換多面体が（ｎ＋１，２）次元立方体のアフィン射影であることと関係しているのである．すなわち，

　　切頂８面体は６次元立方体のアフィン射影

　　４次元罹患多面体は１０次元立方体のアフィン射影

［Ｑ］６本の円柱が等角で交差しているとき，その共通部分の体積は？

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