１^2＝１
１１^2＝１２１
１１１^2＝１２３２１
１１１１^2＝１２３４３２１
１１１１１^2＝１２３４５４３２１
１１１１１１^2＝１２３４５６５４３２１
１１１１１１１^2＝１２３４５６７６５４３２１
１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８７６５４３２１
１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９８７６５４３２１
１が連続する数を２乗すると，数字が昇順・降順に整列する．筆算で計算してみると各行は１が連続する数が１桁ずつ左にずれていく．縦に見た各桁は１の重なりがだんだん増えていってやがて減少に転ずる．そのため，数字が昇順・降順に整列するのである．
もちろん１が１０個以上連続する場合は繰り上がりが起こってしまうが，
１１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９［１０］９８７６５４３２１
１１１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９［１０］［１１］［１０］９８７６５４３２１
のように桁の繰り上がりを記述すれば前述のルールは成り立つ．
次に，１１のｎ乗数を並べて見ると
１１^0＝１
１１^1＝１１
１１^2＝１２１
１１^3＝１３３１
１１^4＝１４６４１
１１^5＝１５［１０］［１０］５１
１１^6＝１６［１５］［２０］［１５］６１
このようにパスカルの三角形は１１のｎ乗数が並んだものと見ることができるのである．以下，このタイプのパスカルの三角形を２パスカルの三角形と呼ぶことにする．
しからば１１１^n，・・・，［１１・・・１k］^nについてはどうなるだろうと考えるのは自然な成り行きであろう．ｋパスカルの三角形のレポートが
［参］松田修＋津山高専数学クラブ「１１からはじまる数学」東京図書
によくまとめられているので紹介したい．
１１はティーンズから始められるという意味との掛詞になっているのだが，高専の学生達が考えた発展問題を優秀な教官が芽を摘むことなく上手に育んだ力作になっている．
なお，図形数との関わりでいうと，２パスカルの三角形の３列目：１，３，６，１０，１５，・・・は三角数，４列目：１，４，１０，２０，・・・は三角錐数（四面体数）である．したがって，５列目は４次元単体数と考えることができる．
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【１】ｋパスカルの三角形
１１１^0＝１
１１１^1＝１１１
１１１^2＝１２３２１
１１１^3＝１３６７６３１
１１１^4＝１４［１０］［１６］［１９］［１６］［１０］４１
１１１^5＝１５［１５］［３０］［４５］［５１］［４５］［３０］［１５］５１
このように１１１^nの作る３パスカルの三角形の値は，上の段の隣り合った３つの値を足して得られることがわかります．３パスカルの三角形は（ｘ^2＋ｘ＋１）^nの係数列でもあります．
一般に，ｋパスカルの三角形は同じ段の隣りあうｋ個の数をたすことで次の段の数が得られます．（ｘ^k-1＋・・・＋ｘ＋１）^nの係数列でもあるというわけです．
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【２】ｋフィボナッチ数列の超黄金比
２パスカルの三角形の斜めの項を足すと数列
１，１，２，３，５，８，・・・
が現れます．初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となるこの数列をフィボナッチ数列とよびます．
その一般項Ｆn は
Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2
です．この数列にフィボナッチ（１３世紀のイタリアの数学者でピサのレオナルドとしても知られる）の名を冠したのはフランスの数学者リュカで，ハノイの塔の名で知られる２進法のパズルも１８８３年にリュカによって考案されたものです．
初項２，第２項１のフィボナッチ数列
２，１，３，４，７，１１，１８，・・・
は彼にちなんでリュカ数列と呼ばれています（１８７７年）．
Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2
リュカはフィボナッチ数列，リュカ数列を用いてメルセンヌ数（２^n−１）が素数であるかどうかを判定し，（２^127−１）が素数であることを示しています（１８７６年）．この数は１２番目のメルセンヌ素数で，１９５２年の１３番目（２^521−１）からはコンピュータによる発見ですから，コンピュータを使わずに見つけられた最大のメルセンヌ素数になっていて，わかっている最大の素数として最長不倒記録を保ち続けました．
フィボナッチ数列やリュカ数列の一般項は，３項漸化式：
Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2
Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2
の特性方程式
ｘ^2−ｘ−１＝０
の２つの解より，連続する２項の比は黄金比
φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・
に次第に近づくことになります．
黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてきます．このことを繰り返し行えば対数らせんが現れますが，この曲線は自然界ではオーム貝などの形にみられ，自己相似的な成長過程を表す理想的な曲線とされています．サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが，対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになります．
今度は逆に１辺の長さがフィボナッチ数列の正方形をらせん状に加えていきます．最初の２つの正方形は１辺の長さが１で，そこに１辺の長さが２の正方形，引き続いて１辺の長さが３，５，８，１３，２１，・・・．すると，優美な対数らせんが現れてきますが，このらせんはほぼ黄金比で外に広がることになります．
さらに，１つの項の和がその前の３つの項の和になっている
Ｔn＝Ｔn-1＋Ｔn-2＋Ｔn-3
で定義される数列
１，１，１，３，５，９，１７，・・・
は，フィボナッチ数列の拡張とみなせるので，フィボナッチ（Fibonacci）をもじってトリボナッチ（Tribonacci）数列と呼ばれます．トリボナッチ数列は３パスカルの三角形に現れます．
トリボナッチ数列でも連続する２項の比はある決まった値
１／３｛3√（１９＋３√３３）＋3√（１９−３√３３）＋１｝＝１．８３９・・・
に収束します．これは
ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０
の実根です．
テトラナッチ数列，ペンタナッチ数列，ヘキサナッチ数列，・・・はｋパスカルの三角形に現れますが，それぞれ特性方程式
ｘ^4−ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０
ｘ^5−ｘ^4−ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０
ｘ^6−ｘ^5−ｘ^4−ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０
・・・・・・・・・・・・・・
をニュートン法で近似計算してみると超黄金比φkが求められます．
超黄金比φkはただひとつ存在し，
ｘ^k−１＝（ｘ−１）（ｘ^k-1＋・・・＋ｘ＋１）
より，ｋ→∞のときφk→２に近づくことがわかります．