ねじれ重角錐（ｎ^2５^2n）の五角形の頂点をＡとすると，辺ＣＤが正ｎ角形と組み合わさる辺でその長さをａ，辺ＢＣ＝辺ＤＥ＝ｂ，辺ＡＢ＝辺ＥＡ＝ｃ，底角∠Ｃ＝∠Ｄ＝θ，頂角∠Ａ＝φで表します．θは９０°＜θ＜（９０＋１８０／ｎ）°の値をとるものとします．

　そして，頂点Ｃの空間座標を（０，０，０），Ｂ（０，ｙ，ｚ），Ｄ（ａｃｏｓ(π/n)，−ａｓｉｎ(π/n)，０）にとると，

　　Ｅ（(y+a/(2sin(π/n))sin(2π/n),(y+a/(2sin(π/n))cos(2π/n)-a/(2sin(π/n),z)）

また，頂点Ａの空間座標（ξ，η，ζ）は

　　ξ＝(y+a/(2sin(π/n))sin(π/n)

　　η＝(y+a/(2sin(π/n))cos(π/n)-a/(2sin(π/n)

　　ζ＝z/y{(y+a/(2sin(π/n))(tan(π/n)sin(π/n)+cos(π/n)-1)}+z

で与えられます．

　ただし，

　　ｂ^2＝ｙ^2＋ｚ^2

　　ｃ^2＝ξ^2＋（η−ｙ）^2＋（ζ−ｚ）^2

　　ｃ^2ｃｏｓφ＝−ξ^2＋（η−ｙ）^2＋（ζ−ｚ）^2＝ｃ^2−２ξ^2

　　　　　　　　＝ｃ^2−２(y+a/(2sin(π/n))^2(sin(π/n))^2

　ξ，η，ζをｃ^2＝ξ^2＋（η−ｙ）^2＋（ζ−ｚ）^2に代入すると，ｙに関する４次方程式

　　y^2(y+a/(2sin(π/n))^2{(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}+b^2(y+a/(2sin(π/n))^2(1/cos(π/n)-1)^2=c^2y^2

に帰着されます．

　係数だけ抜き出すと

　　ｙ^4の係数：{(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}

　　ｙ^3の係数：a/sin(π/n){(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}

　　ｙ^2の係数：a^2/(2sin(π/n))^2{(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}+b^2(1/cos(π/n)-1)^2-c^2

　　ｙ^1の係数：ab^2/sin(π/n)(1/cos(π/n)-1)^2

　　ｙ^0の係数：a^2b^2/(2sin(π/n))^2(1/cos(π/n)-1)^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】等辺（ｎ^2５^2n）構造

　もし五角形面を等辺にしたいのなら，ａ＝ｂ＝ｃ＝１とおいて０＜ｙ＜１を満たすｙを求めます．実際に方程式を解くと

　　ｎ＝３：解なし

　　ｎ＝４：解なし

　　ｎ＝５：重解

　　ｎ＝６：解２個

　　ｎ≧７：解１個

となり，シリコンフラーレン型（４^2５^8）では等辺のものはあり得ないことがわかりました．

　　ｎ　　　二面角　　　　θ　　　　φ

　　５ 116.565 108 108　　　　（正十二面体）

　　６ 153.076 117.238 146.546　　（横長五角形）

　　６ 102.288 97.005 76.9186　　（縦長五角形）

　　７ 99.2919 94.4461 70.5531　　（縦長五角形）

　　８ 97.6236 93.1453 67.4036　　（縦長五角形）

　　９ 96.5175 92.3657 65.5416　　（縦長五角形）

　　10 95.7161 91.8535 64.3282　　（縦長五角形）

　ｎ→∞のとき，

　　ｙ^4の係数→１

　　ｙ^3の係数→１

　　ｙ^2の係数→１

　　ｙ^1の係数→０

　　ｙ^0の係数→０

ですから，解はｙ→０となって五角形面はθ＝９０°，φ＝６０°のホームベース型に近づくことがわかります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】直角（ｎ^2５^2n）構造

　噛み合わせ角度をφ＝９０°とし，たとえばａ＝ｂ＝１なる直角五角形にしたい場合は，

　　ｃ^2＝２(y+a/(2sin(π/n))^2(sin(π/n))^2

ですから，この４次方程式は２次方程式

　　y^2{-(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}+(1/cos(π/n)-1)^2=0

まで還元されます．この方程式はｙ^2の項と定数項だけなので実質的には１次方程式と同じです．

　　ｎ　　　二面角　　　　θ　　　　ｃ

　　３ 125.264 135 1.70711

　　４ 114.47 112.5 1.2483

　　５ 108.961 103.282 1.03203

　　６ 105.542 98.7939 .923314

　　７ 103.194 96.2725 .861621

　　８ 101.473 94.71 .823233

　　９ 100.156 93.672 .797681

　　10 99.1131 92.9459 .779789

　ｎ→∞のとき

　　ｙ^2の係数→−１

　　ｙ^0の係数→０

よりｙ→０となって，五角形面はθ＝９０°，φ＝９０°のホームベース型に近づくことがわかります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】正五角形面（ｎ^2５^2n）構造

　正五角形を辺同士で環状に連結していくと，１０枚でちょうどひとつの輪になります．このとき，この連結図形の外縁の噛み合わせ角度は１４４°となります．ここでは，正五角形１０枚で一周するリングから１枚ずつ減らしていって，平行する天地面を正ｎ角形にした場合の噛み合わせ角度を計算してみました．

　一般には閉じた形には組めないわけですから，正五角形の頂点の空間座標は（ξ，η，ζ）にはなりません．そこで頂点を（α，β，γ）として求めてみると

　　β＝-{tan(π/n)/cos(π/n)-(6+√5)y/2z^2}/{(tan(π/n))^2+1+y^2/z^2}

　　α＝{1/2+βsin(π/n)}/cos(π/n)

　　γ＝{(6+√5)/8-βy}/z

ただし

　　ｙ＝-cos(3π/5)/sin(π/n),z=-(1-y^2)^(1/2)

　このとき，噛み合わせ部分の角度φは

　　ｃｏｓφ＝−α^2＋（β−ｙ）^2＋（γ−ｚ）^2

より求めることができて，実際に計算すると

　　ｎ　　φ　　　　　　ｎ　　φ

　　３ 60　　　　　　７ 128.571

　　４ 90 ８ 135

　　５ 108 ９ 140

　　６ 120 10 144

　予想通り，ｎ＝５以外では側面の噛み合わせ角度が正五角形の頂角１０８°になりません．すなわち，天地面が正五角形の場合は側面が正五角形１０枚が互い違いに噛み合う立体（正十二面体）になりますが，このように側面の五角形が正五角形になる得るのはｎ＝５のときだけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝