０から９間での数字が１回ずつ使われる数で，左からｋ個とった数がｋで割り切れる数を紹介したい．

　３８１６５４７２９０

　３／１＝３

　３８／２＝１９

　３８１／３＝１２７

　３８１６／４＝９５４

　３８１６５／５＝７６３３

　３８１６５４／６＝６３６０９

　３８１６５４７／７＝５４５２２１

　３８１６５４７２／８＝４７７０６８４

　３８１６５４７２９／９＝４２４０６０８１

　３８１６５４７２９０／１０＝３８１６５４７２９

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　このような性質をもつ数を作ってみよう．整数がｘの倍数であるか否かを判定する方法は，中学数学の問題だと思うが，

［１］ｘ＝２：１の位が０，２，４，６，８

［２］ｘ＝３：各位の数の和が３の倍数

［３］ｘ＝４：下２桁が４の倍数（１００は４の倍数だから）

［４］ｘ＝５：１の位が０，５

［５］ｘ＝６：１の位が０，２，４，６，８かつ各位の数の和が３の倍数

［６］ｘ＝８：下３桁が８の倍数（１０００は８の倍数だから）

［７］ｘ＝９：各位の数の和が９の倍数

［８］ｘ＝１０：１の位が０

　７の倍数であることの判定法はあるにはあるのだが煩わしい．ところで，１００１＝７・１１・１３は連続する３つの素数の積になっている不思議な数である．この１００１を繰り返して使うと，１０進法で７の倍数，１３の倍数を判定できる．

　すなわち，整数ａがあったとき，１００１をどんどん引いていけば最終的には１０００以下の整数ｂになる．この整数ｂが７の倍数，１３の倍数のとき，整数ａも７の倍数，１３の倍数である．したがって，３桁の整数が７の倍数，１３の倍数であることが判定できればよいことになる．

　　Ｐ＝ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1

において，

　　Ｐ＝２ａ3＋３ａ2＋ａ3　　　（ｍｏｄ７）

　　Ｐ＝ａ3−ａ2＋ａ3　　　　　（ｍｏｄ１１）

　　Ｐ＝−４ａ3−３ａ2＋ａ3　　（ｍｏｄ１３）

［１］３桁の数が７の倍数であるためには２ａ3＋３ａ2＋ａ3が７の倍数になることが必要十分である．

［２］３桁の数が１３の倍数であるためには−４ａ3−３ａ2＋ａ3が１３の倍数になることが必要十分である．

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