■媒介変数表示の代数曲線化(その4)

アステロイド:f(x,y)=(x^2+y^2−4)^3+108x^2y^2=0

カージオイド:f(x,y)=(x^2+y^2−2x)^2−4(x^2+y^2)=0

ネフロイド:f(x,y)=(x^2+y^2−4)^3−108x^2=0

デルトイド:f(x,y)=(x^2+y^2+9)^2+8x(3y^2−x^2)−108=0

などの方程式は,それぞれの代数曲線の対称性を表現していると考えられます.

 たとえば,カージオイドとデルトイドでは多項式にx項が含まれているため,y軸に関して対称ではありません.今回のコラムでは2変数多項式の対称性について調べてみましょう.

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【1】対称多項式

 直線y=xに関する裏返しによって,点(x,y)は点(y,x)に移ります.そして多項式fが任意のx,yについて

  f(y,x)=f(x,y)

となるとき,対称多項式といいます.

 g(x)={g(x)+g(−x)}/2+{g(x)−g(−x)}/2

より,任意の関数は偶関数と奇関数の和として表すことができますから,

  u=x+y,v=x−y,x=(u+v)/2,y=(u−v)/2

として,新しい座標系を導入すると

  f(x,y)=F(u,v)

 x,yを入れ替えるとu→u,v→−vですから,f(y,x)=f(x,y)よりF(u,−v)=F(u,v).したがって,変数vは偶数乗v^2nの形で入っていることになります.すなわち,

  f(x,y)=F(u,v^2)=F(x+y,(x−y)^2)

であることがわかります.

 また,(x−y)^2=(x+y)^2−4xyとなって,

  f(x,y)=F(x+y,xy)

このように,対称多項式は2つの変数の和と積:x+y,xyの多項式の形に表すことができます.σ1=x+y,σ2=xyは2変数基本対称式と呼ばれますが,任意の2変数対称式は基本対称式の多項式の形に表されます.

 例として

  sn=x^n+y^n

を考えると

  sn=(x+y)(x^n-1+y^n-1)−xy(x^n-2+y^n-2)

    =σ1sn-1−σ2sn-2

であることがわかります.この漸化式をいくつか書き下してみると

  s0=2

  s1=σ1

  s2=σ1^2−2σ2

  s3=σ1^3−3σ1σ2

  s4=σ1^4−4σ1^2σ2+2σ2^2

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【2】対称多項式の拡張(D1)

 n次多項式:f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+・・・+an-1x+an

が関係式

  f(x)=f(-1-x)(-1)^n

を満たすとき,n次対称多項式と呼ぶことにします.

  0次対称多項式:f(x)=c(定数関数)

  1次対称多項式:f(x)=x+1/2,f(x)=ax+a/2

  2次対称多項式:f(x)=ax^2+ax+c

  n次対称多項式:f(x)=ax^n+a(1+x)^n

などはその例です.すなわち,xの代わりに−1−xを代入すると,nが奇数のとき符号が交代,nが偶数のとき交代しない関数が対称多項式です.

  f(x)=f(-1-x)(-1)^n

の両辺を微分すると

  f'(x)=f'(-1-x)(-1)^(n-1)

  f"(x)=f"(-1-x)(-1)^(n-2)

(n-k)次導関数も対称多項式になります.x=0とおくと,n次多項式:f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+・・・+an-1x+anが対称多項式であるための必要十分条件は

  f(k)(0)=f(k)(-1)(-1)^(n-k) (k=0~n)

が成り立つことであることがわかります.そのためには係数の間に関係式

  {1+(-1)^(k-1)}ak=Σ(n-i,n-k)ai(-1)^i (k=0~n)

が成り立たねばなりません.

 また,s次対称多項式Fs(x)を適当に選んで

  f(x)=ΣcsFn-s(x)

がn次対称多項式になるためにはc2k+1=0が成り立たねばなりません.

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[1]ベルヌーイ多項式

  B0(x)=1,B2k+1(0)=0,B's(x)=Bs-1(x)

を満たすs次対称多項式をベルヌーイ多項式Bs(x)として定義します.この条件より帰納的にBs(x)を求めることができます.

 また,文献によって定義の仕方が異なるのですが,ここではベルヌーイ数を

  Br=(2r)!(-1)^(r-1)B2r(0)

として定義します.たとえば,

  B1=1/6,B2=1/30,B3=1/42,B4=1/30,B5=5/66,B6=691/2730

[2]オイラー多項式Es(x)

  E0(x)=1/2,E2k(0)=0,E's(x)=Es-1(x)

を満たすs次対称多項式をオイラー多項式Es(x)として帰納的に定義します.また,タンジェント数を

  Tr=(2r-1)!2^2r(-1)^(r-1)E2r-1(0)

で定義しておきます.

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 ベルヌーイ多項式やオイラー多項式のような例も含めることにすると,対称多項式を直線y=xに関する裏返し以外にも拡張しておくほうが便利です.任意の直線:ax+by+c=0に関する裏返しによって,点(x,y)が点(X,Y)に移るとしましょう.簡単な計算によって

  X=−{(a^2−b^2)x+2a(by+c)}/(a^2+b^2)

  Y=−{(b^2−a^2)y+2b(ax+c)}/(a^2+b^2)

 このときの不変量として

  aX+bY=ax+by

  bX−aY=bx−ay

が成立します.したがって,

  f(X,Y)=f(x,y)

となるとき,この多項式は和と差の平方:

  f(ax+by,(ay−bx)^2)

の多項式の形に表すことができることがわかります.

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【3】対称多項式の拡張(Cn)

 ここまでは群D1(恒等変換と裏返しでできている群)を考えましたが,ここでは群Cn,原点を中心として2π/nの整数倍の回転で変わらない多項式を考えてみます.

 x=rcosφ,y=rsinφ,θ=2π/n,k=0〜n−1とおくと

  [X]=[coskθ,−sinkθ][x]=[rcos(kθ+φ)]

  [Y] [sinkθ, coskθ][y] [rsin(kθ+φ)]

  f(X,Y)=f(x,y)

のとき,

  X^2+Y^2=x^2+y^2=r^2

は不変量のひとつとなりますが,nに依存する不変量

  r^ncosnφ,r^nsinnφ

もθの整数倍回転で不変です.

n=1のとき

  rcosφ=x

  rsinφ=y

n=2のとき

  r^2cos2φ=r^2(cos^2φ−sin^2φ)=x^2−y^2

  r^2sin2φ=2cosφsinφ=2xy

n=3のとき

  r^3cos3φ=r^3(cos2φcosφ−sin2φsinφ)=(x^2−y^2)x−(2xy)y=x^3−3xy^2

  r^3sin3φ=r^3(sin2φcosφ+cos2φsinφ)=(2xy)x+(x^2−y^2)y=3x^2y−y^3

n=4のとき

  r^4cos4φ=r^4(cos3φcosφ−sin3φsinφ)

 =(x^3−3xy^2)x−(3x^2y−y^3)y=x^4−6x^2y^2+y^4  r^4sin4φ=r^4(sin3φcosφ+cos3φsinφ)

=(3x^2y−y^3)x+(x^3−3xy^2)y=4x^3y−4xy^3

 複素数を使うと証明は簡単になります.証明は略しますが,

  (x+yi)^n=r^n(cosφ+isinφ)^n=r^ncosnφ+ir^nsinnφ

となって,r^ncosnφ,r^nsinnφはそれぞれ(x+yi)^nの実部と虚部であることはおわかり頂けるでしょう.

 ともあれ,群Cnで不変な多項式はすべてr^2,r^ncosnφ,r^nsinnφの多項式となるのです.

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【4】対称多項式の拡張(Dn)

 次に,群Dnに関して不変な多項式を考えます.群Dnは群Cnに裏返しを加えたもので,このとき,x軸に関する裏返しという制約をつけても一般性は失われません.x軸に関する裏返しでは,φ→−φより

  r^2→r^2,

  r^ncosnφ→r^ncosnφ,

  r^nsinnφ→−r^nsinnφ

 したがって,r^nsinnφは偶数乗の形でしか現れませんから,

  F(r^2,r^ncosnφ,(r^nsinnφ)^2)

 =F(r^2,r^ncosnφ,(r^2)^n−(r^ncosnφ)^2)

 =F(r^2,r^ncosnφ)

より,群Dnで不変な多項式はすべてr^2,r^ncosnφの多項式となるのです.

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【5】トロコイドへの応用

 アステロイドはD4,カージオイドはD1,ネフロイドはD2,デルトイドはD3の対称性を有する代数曲線ですから,r^2=x^2+y^2,r^ncosnφの多項式になります.

 r^ncosnφはそれぞれ,

  x^4−6x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2−10x^2y^2

  x

  x^2−y^2=(x^2+y^2)−2y^2=−(x^2+y^2)+2x^2

  x^3−3xy^2=x(x^2−3y^2)

よりF(x^2+y^2,x^2y^2),F(x^2+y^2,x),F(x^2+y^2,x^2),F(x^2+y^2,x(x^2−3y^2))で表されることがわかります.

 一般に,

  x=r1cosω1t+r2cosω2t

  y=r1sinω1t+r2sinω2t

は,ω2=−ω1のとき楕円を描きますが,

  ω1/ω2=k,r2/r1=|k|

という比をもつとき,kサイクロイドを描くことになります.

 kが無理数のときは代数的ではなく,半径がr1+r2,|r1−r2|の2つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします.kが有理数のときは周期的となり,サイクロイドは代数曲線であることが証明されます.

(証)この曲線は半径r1の円と半径r2の円の回転運動の組み合わせになるわけですが,前者の周期は2π/ω1,後者の周期は2π/ω2となりますから,後者が1回転したとき,前者はまだω1/ω2回転しかしていません.周期的となるためには両者が同時に整数N回転しなければなりません.

 このとき,サイクロイドはDNの対称性をもつことになりますが,関数r^NcosNφはx,yのN次の同次多項式となることが帰納法で簡単に証明できるので,サイクロイドが多項式(代数曲線)になることは明らかです.

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