有理曲線の具体例としては，２次曲線と特殊な（たとえばグラフが結節点をもつ）３次曲線などが知られています．

　与えられた曲線が原点を通るならばｙ＝ｔｘ，（ａ，ｂ）を通るならばｙ−ｂ＝ｔ（ｘ−ａ）という置換（割線法）は示性数が０である曲線での常套手段です．

　一般に，ある媒介変数ｔにより，ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）で有理関数としたければもとの曲線の示性数（genus）が０でなければなりません．示性数が１ならば楕円曲線に還元して，楕円関数で表現することが考えられます．示性数が２以上ならば保型関数になりますが，なにか幸運な関係式でもないと具体的に表示するのは困難です．

　因数分解できて低次に還元されるでもないと無理？と思われるかもしれませんが，エピサイクロイドやハイポサイクロイドでは，

　　ｘ＝ｆ（ｃｏｓｔ，ｓｉｎｔ）

　　ｙ＝ｇ（ｃｏｓｔ，ｓｉｎｔ）

　　ｃｏｓｔ＝（１−ｓ^2）／（１＋ｓ^2），ｓｉｎｔ＝２ｓ／（１＋ｓ^2）

のようにすると

　　ｘ＝ｆ（ｓ），ｙ＝ｇ（ｓ）

とパラメトライズすることができます．

　また，これらの曲線は対称性を考慮することによって，陰関数ｈ（ｘ，ｙ）＝０にすることができますが，その逆は（不可能ではないでしょうが）困難です．数式処理ソフトではグレブナー基底を求める方法で陰関数表示しているようです．

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