■排他的数列(その13)

 このシリーズで述べたことは,ベルヌーイのベキ和の公式

Σk=n(n+1)/2

Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6

Σk^3=n^2(n+1)^2/4

Σk^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n−1)/30

Σk^5=n^2(n+1)^2(2n^2+2n−1)/12

Σk^6=n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3−3n+1)/42

Σk^7=n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3−n^2−4n+2)/24

が単純に2等分できること以上の意味をもっている.証明してみたい.

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 2の累乗,たとえば,1から2^5までのすべての数字を含む排他的数列では4乗和でも,1から2^6までのすべての数字を含む排他的数列では5乗和でも等しくなる.・・・2^kまでのすべての数字を含む排他的数列ではk−1乗和でも等しいと仮定する.

 このとき,r=2^k-1とおくと

  {a1,a2,・・・,ar}

  {b1,b2,・・・,br}

において,Σai=Σbi,Σai^2=Σbi^2,Σai^k-1=Σbi^k-1が成り立つ.

  ar+1=2r+b1,・・・,a2r=2r+br

  br+1=2r+a1,・・・,b2r=2r+ar

とおくとき,Σai^k=Σbi^kが成り立つことを証明できればよい.

  Σai^k=a1^k+・・・+ar^k+(2r+b1)^k+・・・+(2r+br)^k

=a1^k+・・・+ar^k+b1^k+・・・+br^k+CΣbi^k-1+DΣbi^k-2+・・・+E

  Σbi^k=b1^k+・・・+br^k+(2r+a1)^k+・・・+(2r+ar)^k

=a1^k+・・・+ar^k+b1^k+・・・+br^k+CΣai^k-1+DΣai^k-2+・・・+E

 仮定よりΣai^k=Σbi^k.また,これより項数が2の累乗でなければならないこともわかるだろう.

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