数の三角数分割（ガウス，１７９６年），すなわち「すべての整数は３つの三角数の和によって表し得る」

　　ｎ＝△＋△＋△，△＝ｋ（ｋ＋１）／２

　　７＝３＋３＋１＝６＋１＋０

　　８＝６＋１＋１

　　９＝３＋３＋３＝６＋３＋０

　１０＝６＋３＋１

や，数の平方数分割（ラグランジュ）

　　ｎ＝□＋□＋□＋□，△＝ｋ^2

は有名である．

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［１］ｎ＝△＋△＋△

　三角数：１，３，６，１０，１５，２１，２８，３６＝□・・・

　３３は相異なる三角数の和として表せない最大の数である．

２８＝２８

２９＝１＋２８

３０＝１＋６＋２１

３１＝３＋２８

３２＝１＋３＋２８

３３＝３＋１５＋１５

３４＝６＋２８

３５＝１＋６＝２８

３６＝３６

３７＝１＋３６

３８＝１０＋２８

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［２］ｎ＝□＋□＋□＋□

　　７＝１^2＋１^2＋１^2＋２^2

　　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

では同じ平方数１^2が現れる．異なった平方数の和として書けない数は３１個あるとのことである．１５を含め，

　　２，３，６，７，８，１１，１２，１５，１８，１９，

　　２２，２３，２４，２７，２８，３１，３２，３３，

　　４３，４４，４７，４８，６０，６７，７２，７６，

　　９２，９６，１０８，１１２，１２８

がそのリストである．

　数が十分大きければ異なる平方数の和で表すことができる．１２８はこうならない最大の数で，その次の１２９は

　　１２９＝８^2＋７^2＋４^2

と異なる数の和である．

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