■フィボナッチ数列の三角関数表現

 コラム「パズルワールド散策(その7)」で取り上げた初項1,第2項2のフィボナッチ数列

  1,2,3,5,8,13,・・・

の一般項は

  Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n+1−{(1−√5)/2}^n+1]

で表されるが,

  Fn=Π(k=1~[(n+1)/2]){1+4cos^2(kπ/(n+1))}

はその三角関数表現になっているとのことである.

 この式はどうやって求めたものなのか,その方法が思いつかずしばらく考えさせられたがやっと解決することができた.

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【1】x^n+1−1の因数分解

 f(x)=x^n+1−1=0の解を

  αk=cos(2kπ/(n+1))+isin(2kπ/(n+1))

とおく.

 複素数αkの共約複素数をαk~で表すことにすると

  αk+αk~=2cos(2kπ/(n+1)),αkαk~=1

より,

  (x−αk)(x−αk~)=x^2−2pk+1

  pk=cos(2kπ/(n+1))

となる.

 x^n+1−1の因数分解はnの偶奇によって若干様子が異なるが,nが偶数(n=2m)ならば,n+1=2m+1は奇数となって,f(x)=0の解は1,α1,α1~,αm,αm~となるから

  x^n+1−1=(x−1)Π(k=1~m)(x^2−2pk+1)

 nが奇数のとき(n+1=2m)は,±1,α1,α1~,αm-1,αm-1~より

  x^n+1−1=(x−1)(x+1)Π(k=1~m-1)(x^2−2pk+1)

となる.

 以上のことを同次化すると

n=2mのとき,

  a^n+1−b^n+1=(a−b)Π(k=1~m)(a^2−2pkab+b^2)

n=2m−1のとき,

  a^n+1−b^n+1=(a−b)(a+b)Π(k=1~m-1)(a^2−2pkab+b^2)

  pk=cos(2kπ/(n+1))

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【2】フィボナッチ数列の三角関数表現

  φ=(1+√5)/2,−1/φ=(1−√5)/2

とおくと,

  Fn=1/√5[φ^n+1−(−1/φ)^n+1]

となる.

 また,

  t=√5/2,φ=1/2+t=a,−1/φ=1/2−t=b

とおくと,

  a^2−2pkab+b^2

 =(1/2+t)^2−2pk(1/2+t)(1/2−t)+(1/2−t)^2

 =2{(2^-2+t^2)−(2^-2−t^2)pk}

 =2{2^-2(1−pk)+t^2(1+pk)}

 pk=cos(2kπ/(n+1))のとき,半角の公式

  1−pk=2sin^2(kπ/(n+1))

  1+pk=2cos^2(kπ/(n+1))

より

  a^2−2pkab+b^2

 =sin^2(kπ/(n+1))+4t^2cos^2(kπ/(n+1))

 =1+(4t^2−1)cos^2(kπ/(n+1))

 =1+4cos^2(kπ/(n+1))

 nが偶数の場合,

  (a−b)/√5=1,m=n/2

nが奇数の場合,

  (a−b)(a+b)/√5=1,m=(n+1)/2

となって,いずれの場合も

  Fn=Π(k=1~[(n+1)/2]){1+4cos^2(kπ/(n+1))}

で表されるというわけである.

 初項1,第2項1から始まるフィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の場合は,

  Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]

であるから,x^n−1に対応していて

  Fn=Π(k=1~[n/2]){1+4cos^2(kπ/n)}

となる.

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【3】雑感

 コラム「パズルワールド散策(その7)」で取り上げた畳敷きの問題(n×2mの長方形の部屋にn×m枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか)で,とくにm=1のときは

  K(n×2)=Π(l=1~[(n+1)/2]{1+4cos^2(lπ/(n+1))}

という式が出てくるが,これはフィボナッチ数列の三角関数表現になっている.

 ここで,n→2mと置き換えれば

  K(2m×2)=K(2×2m)

 =Π(k=1~m]{1+4cos^2(kπ/(2m+1))}

となる.また,n=1のとき,畳の敷き方はただ1通りであるから,

  K(1×2m)=1

  1+4cos^2(kπ/(2m+1))

の1はK(1×2m)=1の場合に対応していて,組み合わせ数の本質的な部分は

  4cos^2(kπ/(2m+1))

と思われる.そこで,K(n×2m)を求めるには1の代わりに

  4cos^2(lπ/(n+1))

を用いればよいことになる.

 以上のことから,

  K(n×2m)

 =Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]{4cos^2(lπ/(n+1))+4cos^2(kπ/(2m+1))}

 =2^2m[(n+1)/2]Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]{cos^2(lπ/(n+1))+cos^2(kπ/(2m+1))}

と考えられるのである.1が消えた理由を無理矢理こじつけたようであるが,・・・

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