■テトラドロンのもうひとつの2等分(その11)

 ちょうど昨年の今頃は

 RV Moody, J Patera: Voronoi and Delaunay cells of root lattices: classification of their faces and facets by Coxter-Dynkin diagrams, J Phys A Math Gen 25(1992), 5089-5134

を読んでいたのであるが,2^n+2n胞体,2(2^n−1)胞体が自然にでてきた.

 空間充填図形とは直接関係していなかったが,このシリーズの検討から,空間充填図形の双対図形であることがわかった.

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【1】Anのボロノイ細胞の要素数(n≧1)

  f0=2(2^n−1)

  f1=2(2^n-1−1)(n+1,1)

  fk=2(2^n-k−1)(n+1,k)

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす.

 f1を計算すると

  24(n=3),70(n=4),180(n=5),434(n=6)

 空間充填2(2^n−1)胞体のn−2面数は

  36(n=3),150(n=4),540(n=5),1806(n=6)

で,一致しない.

 そこで,

  N0=2(2^n−1)

  N1=2(2^n-1−1)(n+1,1)=2(n+1)(2^n-1−1)

  Nk=2(2^n-k−1)(n+1,k)

とおいて,この公式において

  k←n−k−1

と置換すると

  fk=Nn-k-1=2(2^k+1−1)(n+1,n−k−1)=2(2^k+1−1)(n+1,k+2)

  f0=n(n+1)

  f1=(n−1)n(n+1)=(n−1)f0

  fn-1=2(2^n−1)

 3次元:(f0,f1,f2)=(12,24,14)→存在(101)

 4次元:(f0,f1,f2,f3)=(20,60,70,30)→存在(1001)

 5次元:(f0,f1,f2,f3,f4)=(30,120,210,180,62)→存在(10001)

 6次元:(f0,f1,f2,f3,f4,f5)=(42,210,490,630,434,126)→存在(10001)

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【2】Bnのボロノイ細胞の要素数(n≧2)

  fk=2^n-k(n,k)

はn次元立方体の面数公式であり,オイラー・ポアンカレの公式を満たす.

  f0=2^n

  f1=2^n-1n

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【3】Cnのボロノイ細胞の要素数(n≧3)

  f0=2^n+2n

  fk=2^n-k(n,k)+2^n-k+1k(n,k)  1≦k≦n−3

  fn-2=2^3(n−2)(n,n−2)

  fn-1=2^2(n,n−2)

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす.

  f1=2^n-1n+2^nn=3・2^n-1n

 f1を計算すると

  24(n=3),96(n=4),240(n=5),576(n=6)

 空間充填2^n+2n胞体のn−2面数は

  36(n=3),96(n=4),280(n=5),636(n=6)

で,一致しない.

 そこで,

  N0=2^n+2n

  Nk=2^n-k(n,k)+2^n-k+1k(n,k)  1≦k≦n−3

  Nn-2=2^3(n−2)(n,n−2)

  Nn-1=2^2(n,n−2)

とおいて,この公式において

  k←n−k−1

と置換すると

  fk=Nn-k-1=2^k+1(n,n−k−1)+2^k+2(n−k−1)(n,n−k−1)

=2^k+1(n,k+1)+2^k+2(n−k−1)(n,k+1)

  1≧n−k−1≧n−3→2≦k≦n−2

  f0=2^2(n,n−2)=2n(n−1)

  f1=2^3(n−2)(n,n−2)=2(n−2)f0

  fn-1=2^n+2n

 3次元:(f0,f1,f2)=(12,24,14)→存在(010)

 4次元:(f0,f1,f2,f3)=(24,96,96,24)→存在(0100)

 5次元:(f0,f1,f2,f3,f4)=(40,240,400,240,42)→存在(01000)

 6次元:(f0,f1,f2,f3,f4,f5)=(60,480,1120,1200,576,76)→存在(010000)

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【4】Dnのボロノイ細胞の要素数(n≧4)

  f0=2n+2^n

  f1=3・2^n-1n

  fk=2^n-k+1k(n,k)+2^n-k(n,k)  2≦k≦n−3

  fn-2=2^3(n−2)(n,n−2)

  fn-1=2^2(n,n−2)

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす.

 f1を計算すると

  96(n=4),240(n=5),576(n=6)

 空間充填2^n+2n胞体のn−2面数は

  96(n=4),280(n=5),636(n=6)

で,一致しない.

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【5】まとめ

 Anのボロノイ細胞からは,全切頂切稜型準正多胞体,

  {3,3}(101)

  {3,3,3}(1001)

  {3,3,3,3}(10001)

  {3,3,3,3,3}(100001)

Cnのボロノイ細胞からは,切頂型準正多胞体を構成することができた.

  {3,4}(010)

  {3,3,4}(0100)

  {3,3,3,4}(01000)

  {3,3,3,3,4}(010000)

 後者はFCC結晶の双対図形として理解されるが,前者は何の結晶の双対図形に対応しているのだろうか? まさとは思うが,ミンコフスキー結晶?

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