３次元空間で，立方体の８頂点（±１，±１，±１）と正八面体の６頂点（±２，０，０）（０，±２，０）（０，０，±２）を結ぶと菱形１２面体と呼ばれる「準正多面体の双対多面体」ができる．これは面が白銀菱形からできていて，３次元の空間充填形をなす．

　４次元空間でこのまねをして，立方体の１６頂点（±１，±１，±１，±１）と正軸体の８頂点（±２，０，０，０）（０，±２，０，０）（０，０，±２，０）（０，０，０，±２）を結ぶと正２４胞体ができる．これは面が正八面体からできていて，４次元の空間充填形をなす．

　したがって，正２４胞体は菱形１２面体の自然な拡張になっている．菱形１２面体は３次元の面心立方格子であるから，正２４胞体は４次元の面心立方格子で考えるのが普通であろう．

　しかし，正２４胞体は４次元の体心立方格子と同値である．どうなっているのか，よくわからなかったのであるが，

　　正２４胞体は４次元の体心立方格子である→○

　　正２４胞体は４次元の面心立方格子である→△

　正確にいうと

　　正２４胞体は４次元の面心立方格子の双対図形である→○

　　正２４胞体は自己双対図形である→○

したがって，正２４胞体は４次元の面心立方格子である．４次元の体心立方格子と面心立方格子は等しいものになると考えてよいということだろう．

　　２^n＋２ｎ＝２ｎ（ｎ−１）

　　２^n＝２ｎ（ｎ−２）

が成り立つのは，ｎ＝４のときだけである．

　４次元の場合，空間の特異性から，切頂八面体と菱形１２面体が本当の正多面体になると考えることもできるだろう．

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