ｐ^2＝２４ｓ^2−２３

　　ｓ＝１０ｋ±１

であるから，

　　ｓ^2＝１００ｋ^2±２０ｋ＋１

　　ｐ^2＝２４ｓ^2−２３＝２４００ｋ^2±４８０ｋ＋２４−２３

　　　　＝４８０（５ｋ^2±２ｋ）＋１＝４８０Ｎ＋１

となる素数を探すことになる．それはともかく，・・・

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　　１^2＋１＝２　　　　　（素数）

　　２^2＋１＝５　　　　　（素数）

　　４^2＋１＝１７　　　　（素数）

　　６^2＋１＝３７　　　　（素数）

　　８^2＋１＝６５　　　　（素数でない）

　１０^2＋１＝１０１　　　（素数）

ｎ^2＋１型素数は無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　ｐ^2−１を計算してみると

　　　　３＝２^2−１

　　　　８＝３^2−１

　　　２４＝５^2−１

　　　４８＝７^2−１＝２・２４

　　１２０＝１１^2−１＝５・２４

　　１６８＝１３^2−１＝７・２４

　　２８８＝１７^2−１＝１２・２４

　　３６０＝１９^2−１＝１５・２４

　　５２８＝２３^2−１＝２２・２４

　　８４０＝２９^2−１＝３５・２４

　　ｎ^2−１＝（ｎ−１）（ｎ＋１）

であるから，３はｎ^2−１型の唯一の素数である．また，３は２^p＋１を割り切る唯一の素数でもある．

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