【１】１＋ｉのｎ±ｉ分解

　問題はこの型のすべての整数解を求めることですが，試行錯誤ではいささか難ありですから，一般的理論（ステルマー分解）に倣って，１＋ｉ（傾き１／１の坂）をｎ±ｉで分解することを考えてみます．ただし，一意に表される必要はないので，ｎはステルマー数でなくてもよいことにします．

　ａｒｃｔａｎ（１／ｎ），ａｒｃｔａｎ（１／ｍ）の２項を使って，πを表現する方法は

　（１＋ｉ）（ｎ−ｉ）^r＝（ｍ±ｉ）

となるｎ，ｍ，ｒを求める問題に帰着されるのですが，

π／４＝ａｒｃｔａｎ１＝ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）±ａｒｃｔａｎ（１／ｍ）

が成り立つのは，ただ１通り

　　π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）

ですから，ｎについてはｎ＝２，３がその候補となります．また，

　　２^2＋１＝５，３^2＋１＝１０＝２・５

より，ｎ＝５もその候補で，ｎの候補はｎ＝２，３，５に限られることもわかります．

　ｒについては，複素数の掛け算は偏角の足し算に対応しますから，偏角を幾何学的に考慮することによって，

　　｜π／４−ｒ・ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）｜＜ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）

π／４／ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）−１＜ｒ＜π／４／ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＋１

の範囲に収まることがわかります．

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［１］ｎ＝２→ｒ＝１，２

　　（１＋ｉ）（２−ｉ）＝（３＋ｉ）

　→π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）

　　（１＋ｉ）（２−ｉ）^2＝（７−ｉ）

　→π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／２）−ａｒｃｔａｎ（１／７）

［２］ｎ＝３→ｒ＝２，３

　　（１＋ｉ）（３−ｉ）^2＝７（７−ｉ）

　→π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）

　　（１＋ｉ）（３−ｉ）^3＝４（１１−２ｉ）→×

［３］ｎ＝３→ｒ＝３，４

　　（１＋ｉ）（５−ｉ）^3＝４（４６−９ｉ）→×

　　（１＋ｉ）（５−ｉ）^4＝４（２３９−ｉ）

　→π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）

　これでａｒｃｔａｎを２つ使ってπを表現する公式がすべて出揃いました．実際の数値計算では，項数が少なく分母が大きいものほど有効ですから，マーチンの級数はａｒｃｔａｎを２つ使ってπを表現する公式の中で最良のものであることがお分かりいただけたかと思います．

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