ｎ±ｉ

はガウスの整数ですが，ここではａ＋ｂｉではなく，ｎ±ｉなる複素数を使って分解することを考えます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ステルマー分解

　（その４）より，ｎ^2＋１＝ｋｍなるｋが存在するならばｑは整数になりますが，そのようなｍは２と４ｋ＋１型素数の積，あるいは，ｎ^2＋１の約数として表現できることがわかります．

　　ｍ＝１，２，５，１０，１３，１７，２５，２６，２９，３４，３７，４１，５０，５３，５８，６１，６５，７３，７４，８２，８５，８９，９７，・・・

　ｍではなくｎについては，ｎ^2＋１の最大素因数ｐが２ｎ以上となる正整数ｎをステルマー数と呼びます．ｎ＝３のとき，３^2＋１＝１０＝２・５→ｐ＝５ですから，３はステルマー数ではありません．同様に，

　ｎ＝７　　　　７^2＋１＝５０＝２・５^2　→　ｐ＝５

　ｎ＝１８　　　１８^2＋１＝３２５＝５^2・１３→ｐ＝１３

　ｎ＝５７　　　５７^2＋１＝３２５０→ｐ＝２・５^3・１３→ｐ＝１３

　ｎ＝２３９　　２３９^2＋１＝２・１３^4→ｐ＝１３

もステルマー数ではありません．一方，ｎ＝２のとき，２^2＋１＝５→ｐ＝５ですから，２はステルマー数です．

　最初の３０個のステルマー数ｎとそれに対応する最大素因数ｐは，

　　　ｎ　　　ｐ　　　　ｎ　　　ｐ　　　　ｎ　　　　ｐ

　　　１　　　２　　　１５　１１３　　　２８　　１５７

　　　２　　　５　　　１６　２５７　　　２９　　４２１

　　　４　　１７　　　１９　１８１　　　３３　　１０９

　　　５　　１３　　　２０　４０１　　　３４　　　８９

　　　６　　３７　　　２２　　９７　　　３５　　６１３

　　　９　　４１　　　２３　　５３　　　３６　１２９７

　　１０　１０１ 　２４　５７７　　　３７　　１３７

　　１１　　６１ 　２５　３１３　　　３９　　７６１

　　１２　　２９　　　２６　６１７　　　４０　１６０１

　　１４　１９７　　　２７　　７３　　　４２　　３５３

［１］５はステルマー数ですから，５＋ｉのステルマー分解はそれ自身になります．

［２］７０＋ｉでは

　　（７０＋ｉ）（７０−ｉ）＝７０^2＋１＝４９０１＝１３^2・２９

ですから，７０はステルマー数ではありません．

　　１２±ｉ→１２^2＋１＝５・２９

となることから，２９でｎ^2＋１が割り切れる最小のｎは１２です．すなわち，最初のステルマー数は１２になります．

　ステルマー分解を求めるには，ｎがステルマー数となっている数ｎ±ｉを元の数ａ＋ｂｉに繰り返し掛けていきます．このとき，符号は対応する素数ｐをキャンセルできるように選びます．この例では

　　（７０＋ｉ）（１２＋ｉ）＝８３９＋８２ｉ→×

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）＝８４１−５８ｉ＝２９（２９−２ｉ）

ですから，

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）＝２９（２９−２ｉ）

　　　５±ｉ→５^2＋１＝２・１３

より，１３でｎ^2＋１が割り切れる最小のｎは５です．すなわち，次のステルマー数は５ですから，

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５＋ｉ）＝２９（２９−２ｉ）（５＋ｉ）＝２９（１４７−１９ｉ）→×

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５−ｉ）＝２９（２９−２ｉ）（５−ｉ）＝２９（１４３−３９ｉ）＝３７７（１１−３ｉ）

　同様のことを繰り返すと

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５−ｉ）（５−ｉ）＝３７７（１１−３ｉ）（５−ｉ）＝９８０２（２−ｉ）

２はステルマー数ですから，これですべてステルマー数に対応する複素数となりました．実数の偏角はすべて０です．したがって，偏角については

　　ａｒｃｔａｎ（１／７０）−ａｒｃｔａｎ（１／１２）−２ａｒｃｔａｎ（１／５）＝−ａｒｃｔａｎ（１／２）

が成り立つことがわかります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝