タングラムとは，正方形を直線で７枚の板（直角二等辺三角形大２，中１，小２，正方形１，平行四辺形１）に切って，それを組み合わせていろいろな図形を作るパズルである．

　タングラムは中国生まれとされるが，わが国でもよく似たものがあり，長方形を７枚の板（直角二等辺三角形２，直角台形大１，中１，小２，ホームベース型五角形１）に切った「ラッキー・パズル」が市販されている．

　私も子供の頃，ラッキー・パズル（はなやま玩具）でよく遊んだものである．影絵が簡単なほど難しくなるが，幼児であれば自分自身で新しい影絵を考案して楽しむこともできる．実際，わが家の子供達は専らデザインを応募しては採用されることを楽しんでいるようである．

［Ｑ１］タングラムの７枚を全部並べてできる凸多角形は何種類あるか？

［Ａ１］この問題は三角形１，四角形６，五角形２，六角形４の計１３種類あることが証明されている．ラッキー・パズルでは四角形４，五角形３，六角形６，八角形１の１４種類作れることは確かであるが，それですべてかどうかは証明されていない．挑戦してみませんか？

　ところで，「九章算術」の立方体，塹堵（ぜんと），陽馬，鼈臑（べつどう）はピースを並べ替えて等積変形により立体の体積を求積するもので，三角錐や角錐台の体積公式を得るときなどに用いられる．その意味で「タングラム」の立体版と考えられる．もちろんタングラムと同じ中国生まれである．

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　平面の問題に比べて，立体の問題は簡単な問題であってもかなり面倒になり，頭の中だけで考えても難しい場合が多い．どうしても立体模型が欲しくなるところである．

［Ｑ２］正多面体をいろいろな方向から平面で切りわけると，断面にはどんな形の正多角形ができるか？

［Ａ２］正多角形としては

　　正四面体→正三角形，正方形

　　立方体→正方形，正三角形，正六角形

　　正八面体→正方形，正六角形

　　正十二面体→正方形，正三角形，正十角形

　　正二十面体→正五角形，正十角形

［Ｑ３］正多面体をいろいろに方向に投影すると，投影図にはどんな形の正多角形ができるか？

［Ａ３］面心図，辺心図，点心図の順に記すが

　　正四面体→正三角形，正方形，正三角形

　　立方体→正方形，長方形，正六角形

　　正八面体→正六角形，菱形，正方形

　　正十二面体→正十角形，歪六角形，歪十二角形

　　正二十面体→正六角形，歪六角形，正十角形

　正多面体のもつ双対性は，ある程度，断面や投影図に反映されるが，とくに投影図には優性遺伝することがわかるだろう．

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　ペントミノは１２種類あり，１２種類のピースを長方形の箱に収めるパズルである．

　　□□□□□　　□　　　　　　□　　　　□　　　　□□□　　　□

　　　　　　　　　□□□□　　□□□□　　□　　　　　□　　　□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□　　　□　　　　□

　　□　□　　□　　　　□　　　　□　　　　□　　　　□□□

　　□□□　　□□　　　□□□　　□□□　　□□　　□□

　　　　　　　　□□　　　　□　　　□　　　□□

［Ｑ４］同形のペントミノで長方形を敷き詰めることができるものは何種類あるか？　また，長方形を敷き詰めるのに必要な最小枚数は何枚か？

［Ａ４］

　　□□□□□　　□　　　　　　□　　　　□

　　　　　　　　　□□□□　　□□□□　　□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□

　　　（１）　　　（２）　　　（１０）　　（２）

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［Ｑ５］同じ大きさの正方形の辺と辺をつなげたポリオミノで，正方形をｎ枚使ったものをｎオミノと呼ぶ．ｎオミノは何種類あるか？

［Ａ５］回転や反転で同型になるものは同じと数えると，モノミノ（１），ドミノ（１），トロミノ（２），テトロミノ（５），ペントミノ（１２），ヘキソミノ（３５），ヘプトミノ（１０８），オクトミノ（３６９），・・・．別に数えると，モノミノ（１），ドミノ（２），トロミノ（６），テトロミノ（１９），ペントミノ（６３），ヘキソミノ（２１６），ヘプトミノ（７６０），オクトミノ（２７２５），・・・

　ｎオミノの種類はｎとともに急速に増加する．前者の個数をＰn，後者の個数をＱnと表すと

ｎ　　　　Ｐn 　　　　Ｑn 　　　　ｎ　　　　Ｐn 　　　　Ｑn 　　　　

１ 1 1 10 4655 36446

２ 1 2 11 17073 135268

３ 2 6 12 63600 505861

４ 5 19 13 238591 1903890

５ 12 63 14 901971 7204874

６ 35 216 15 3426576 27394666

７ 108 760 16 13079255 104592937

８ 369 2725 17 50107911 400795860

９ 1285 9910 18 192622052 1540820542

　大きなｎに対して

　　Ｑn 〜　ａ^n　　（ａ＝３．７２〜４．５）

　　Ｐn 〜　Ｑn／８

という漸近評価が得られている．

　この数え上げは

　　［参］「スチュアート教授のおもしろ数学入門」日経サイエンス社

から転載したものであるが，漸近評価を含む数え上げについては

　　コラム「飽和炭化水素の構造異性体数」

が参考になる（はずである）．

　ちなみに，長方形を敷き詰めることができるものは

　　モノミノ　　　（１／１）

　　ドミノ　　　　（１／１）

　　トロミノ　　　（２／２）

　　テトロミノ　　（４／５）

　　ペントミノ　　（４／１２）

　　ヘキソミノ　　（１０／３５）

　最後に，ポリオミノの正方形を立方体に置き換えた立体ポリオミノの同じピースをいくつか組み合わせて直方体を作る問題を考える．おもしろいことに長方形を作れないポリオミノを立体化してやると直方体を作ることができる例がたくさん知られている．たとえば，テトロミノ

　　　□□

　　□□

の立体版など．

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