■レプユニット型素数(その2)

 1が連続する数を1の反復数(レプユニット)という.

1=1

11=11(素数)

111=3・37

1111=11・101

11111=41・271

111111=3・7・11・13・37

1111111=239・4649

11111111=11・73・101・137

111111111=3・3・37・333667

1111111111=11・41・271・9091

11111111111=21649・513239

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【1】レプユニット型素数

 10進法表記で1がn個並ぶn桁のレプユニットは

  Rn=(10^n−1)/9

の形に書くことができる.1以外の数,たとえば7がn個並ぶ数は7で割れるから素数ではない.1の場合だけが明らかではないのだが,

 Rnが素数ならば,nは素数でなければならないのであるが,まず,nが偶数の場合をみてみよう.

[1]n=4m+2の場合

  R2=11(素数)

  R6=R2・R3・91

  R10=R2・R5・9091

  R14=R2・R7・909091

  R18=R2・R9・90909091

あるいは

  R2=11(素数)

  R6=R3・1001

  R10=R5・100001

  R14=R7・10000001

  R18=R9・1000000001

[2]n=4mの場合

  R4=11・101

  R8=11・101・1001

  R12=11・101・100010001

  R16=11101・1000100010001

[3]nが素数の場合

 たとえば,n=2(11)は素数である.n=13は53・79・265374653であるが,n=17は2071723と5363222357の2つの素因数しかもっていないがこれを探すだけでも大変なことである.n=29の場合は,3191・16763・43037・62003・77843839397となる.

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[4]nがmの倍数ならばRnはRmの倍数である.

[5]R2nは11で割り切れ,R3nは3と37で割り切れる.

n=2:11(素数)

n=3:3・37

n=6:3・7・11・13・37

n=9:3・3・37・333667

n=18:3・3・7・11・13・19・37・52579・333667

[6]Rnが素数ならばnは素数であるが,逆は成り立たない.

[7]n=2,19,23,317,1031の場合,Rnは素数であることが知られている.素数と思われるが証明されていないレプユニット型素数はn=49081と86453であるが,いまのところ,これ以外のレプユニット型素数は知られておらず,レプユニット型素数がこれ以外にあるのか,また,無限個あるのかどうかは未解決である.

[8]平方数であるレプユニットは1に限るが,立方数であるレプユニットは1以外に存在するかどうかは未解決である.

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