任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，外接円の半径をＲ，内接円の半径をｒ，面積をΔとする．

［Ｑ］Ｒ≧２ｒを証明せよ．等号が成り立つのはどのようなときか．

（ヒント）外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

が成り立っています（オイラーの定理）．

　この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　ヘロンの公式とは，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

［参］Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

はオイラーの定理として知られていますが，１７４６年にチャップルが発見し，オイラーは１７６５年に

　　ｄ^2＝ａ^2ｂ^2ｃ^2／１６Δ^2−ａｂｃ／（ａ＋ｂ＋ｃ）

の形で再発見したとのことです．

［参］双心四角形

　内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，フースの定理

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2

が成り立ちます．

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［Ｑ］任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとする．外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表せ．また，与えられた三角形が直角三角形のときのＲ，ｒをａ，ｂ，ｃの一次式で表せ．

（ヒント）正弦定理

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