■判別式(その3)

[Q]sに関する3次方程式

  s^3+xs^2+ys+1=0

が1つの実数解と1組の重根をもつ範囲を図示せよ.

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[A]解は4x^3+4y^3-x^2y^2-18xy+27=0のグラフを描けという問題に言い換えることができる.

 高次代数方程式がうまく媒介変数表示できるのは,きわめて特殊な例外的な場合にに限られます.しかしながら,この場合,

  x=1/t^2-2t,y=t^2-2/t

のような媒介変数表示が可能です.

 確かめてみましょう.

  x+y=(t^2+1/t^2)-2(t+1/t)

  xy=5-2(t^3+1/t^3)

 T=(t+1/t)とおいてもよいが

  x^3+y^3=(t^6+1/t^6)-14(t^3+1/t^3)+24

  x^2y^2=4(t^6+1/t^6)-20(t^3+1/t^3)+33

より,

  4(x^3+y^3)-x^2y^2=-36(t^3+1/t^3)+63

=18xy-27

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[1]3次曲線のパラメータ表示例

 デカルトの正葉線x^3-3axy+y^3=0(a>0)では,y/x=t,すなわちy=txとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます.

  x=3at/(1+t^3),y=3at^2/(1+t^3)

この3次曲線は重根をもち,原点(0,0)が特異点になります.

 しかし,このままではtとの対応が悪く

  x=3a(1-t)(1-t^2)/2(1+3t^3),

  x=3a(1+t)(1-t^2)/2(1+3t^3),

の方がきれいに描くことができます.

 同様に,特異点をもつy^2=x^3やy^2=x^2(x+1)は楕円曲線ではありません.前者は(t^3,t^2),後者は(t^2-1,t(t^2-1))とパラメトライズできます.

[2]4次曲線のパラメータ表示例

 レムニスケートは

  x=t(t^2+1)/(1+t^4)

  y=-t(t^2-1)/(1+t^4)

のようにパラメトライズすることができます.

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