（その２１）では，分母が素数の「素数ゼータ関数」
ζp（ｓ）＝Σ（１／ｐ^s）＝１／２^s＋１／３^s＋１／５^s＋１／７^s＋１／１１^s＋・・・
を紹介しましたが，今回のコラムではそれを補足説明しておきたいと思います．
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【１】ディリクレの算術級数定理
１７３５年，オイラーはバーゼル問題
ζ（ｓ）＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・＋１／ｎ^s＋・・・
ζ（２）＝Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６
を証明しましたが，その後，１７３７年に素数ｐの逆数の和が発散すること
ζ(p<=n)＝Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｌｏｇｎ
ζp→∞
より，素数が無限個あることを示しました．
また，１７７５年，４で割って１余る素数ｑと３余る素数ｒに対しても，逆数の和が発散すること
ζq＝１／５＋１／１３＋１／１７＋・・・→∞
ζr＝１／３＋１／７＋１／１１＋・・・→∞
を見つけました．どちらも無限個存在することがわかります．
ゼータ関数は，オイラーの積表示
ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)
を通して素数分布＝＃｛ｎ｜素数ｐ≦ｘ｝の問題に関係してきます．オイラーはオイラー積表示の関係式を用いて，素数が無限個あること，しかも自然数の中で相当な割合で現れるという事実を証明をしたのですが，これはギリシャ数学の単なる別証ではなく，その後の数学の発展に繋がるものだったのです．
そして，有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で
π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ
と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です（１８３７年）．
π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ Ｃ＝１／φ（ｎ）
オイラーの結果は
（ｎ，ａ）＝（１，１），（４，１），（４，３）
の場合になります．
算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数
φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）
として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．
１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，
φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・
であることを示しました．この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，
φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４
φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０
φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０
また，任意の素数ｐに対して，
φ（ｐ^n）＝ｐ^n（１−１／ｐ）
したがって，
φ（ｐ）＝ｐ（１−１／ｐ）＝ｐ−１
となります．
なお，算術級数定理の証明にはディリクレのＬ関数
Ｌ（ｓ，χ）＝Σχ（ｐ）／ｎ^s＝Π（１−χ（ｐ）ｐ^(-s)）^(-1)
χは乗法群（Ｚ／ｎＺ）の１次元表現
が用いられます．
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【２】オイラー定数と素数オイラー定数
Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ
と定義します（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません）．
ｎを無限大にしたとき，調和級数
Ｈ∞＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・
は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｏｇｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．
したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります（∵∫１／ｘｄｘ＝ｌｏｇｘ）．したがって，Ｈnとｌｏｇｎの比｛Ｈn／ｌｏｇｎ｝は
Ｈn／ｌｏｇｎ→１ （ｎ→∞）
です．
一方，Ｈnとｌｏｇｎの差｛Ｈn−ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．
Ｈn−ｌｏｇｎ→γ
（Ｈn＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ），Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１））
この極限値はオイラーの定数として知られており，約０．５７７２２になります．オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．
Ｈnは上限と下限の間の約５８％のところにあることがわかりましたが，今日に至るまで，オイラーの定数の値は有理数とも無理数ともわかっていません．おそらく，超越数なのでしょう．
また，オイラーの定数γを極限値ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｏｇｎ）を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です．そこで，
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・
ｌｏｇ（１＋１／ｘ）＝１／ｘ−１／（２ｘ^2）＋１／（３ｘ^3）−１／（４ｘ^4）＋・・・
より
ｌｏｇΓ（１＋ｓ）＝−γｓ＋ζ（２）／２ｓ^2−ζ（３）／３ｓ^3＋・・・
これを用いると
γ＝ζ（２）／２−ζ（３）／３＋ζ（４）／４−ζ（５）／５＋・・・
あるいは
γ＝１−１／２（ζ（２）−１）−１／３（ζ（３）−１）−１／４（ζ（４）−１）−・・・
などと書けることになります．これらの無限級数はかなり速く収束します．
オイラー定数のさまざまな表示については
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gammaFormulas.html
を参照されたい．
なお，素数の逆数の和Σ（１／ｐ）については，ｎ→∞のとき，
γp＝｛Σ（１／ｐ）−ｌｏｇｌｏｇｎ｝→γ＋Σ（ｌｏｇ（１−１／ｐ）＋１／ｐ）＝０．２６１４９７２１・・・
が知られています（メルテンスの定理：１８７４年）．素数オイラー定数γpの性質はオイラー定数γ以上に不明です．
ゼータ関数と素数ゼータ関数の間には
ｌｏｇζ(ｓ)＝−Σｌｏｇ（１−ｐ^-s）^-1＝Σζp（ｓｎ）／ｎ
γp＝γ−Σζp（ｎ）／ｎ
が成り立ちますから，メビウスの反転公式により
ζp（ｓ）＝Σμ（ｎ）／ｎ・ｌｏｇζp（ｓｎ）
γp＝γ＋Σμ（ｎ）／ｎ・ｌｏｇζp（ｎ）
すなわち，メビウス関数がゼータ関数と素数ゼータ関数の間をつなぐ式になっているというわけです．
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