■置換多面体の空間充填性(その288)

 そろそろ学会も近くなってきたので,BCC立体についての結論を引き出しておきたい.

 まず,BCC立体の頂点座標はすべてわかっているので,それから並進ベクトルを構成する方法が考えられるが,以前に失敗したことがあるので,ここでは元素分解する方法を考えてみたい.

 BCC立体(体積Ω)は2^nn!の元素(体積ω)に分解される.頂点数をvとするとひとつの頂点に集まる元素数は2^nn!/vである.空間充填においてひとつの頂点にc個の多胞体が集まるとき,頂点周りの元素数は2^nn!c/vとなる.

 頂点を中心としてみたとき,これがもとと同じBCC立体になっているならば,その体積はΩとなるから,

  Ω=2^nn!ω=2^nn!c/vω

よりc=vとなるが,これは一般に正しくない.とんだ猿知恵であった.

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