［４］Ｒ^3の星形正多面体は３種類ある．それらはケプラー・ポアンソ，プラトン立体とも呼ばれる．

［５］Ｒ^3の複合正多面体は５種類ある．正四面体を２個，５個，１０個あわせたもの，立方体を５個合わせたもの，正八面体を５個合わせたものの５つ．

［６］Ｒ^3の凸なデルタ多面体は８種類ある．

［７］Ｒ^4の凸な正多面体は６種類ある．

［８］Ｒ^4の星形正多面体は１０種類ある．

ところで，・・・

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【１】球面の平行化可能性

　ｎ次元球面Ｓ^n上にｎ個の１次独立なベクトル場が存在するとき，Ｓ^nを平行化可能といいます．Ｓ^nが平行化可能な次元はＳ^1，Ｓ^3，Ｓ^7に限る１９５８年にケルベアとミルナーがそれぞれ独立に証明しています．

　実は偶数次元球面上には非特異ベクトル場さえ存在しません．したがって，平行化可能にもなり得ません．

　アダムスの公式は球面上の１次独立なベクトル場の最大個数σ（ｎ）を与える公式です．ｎ＋１＝（２ａ−１）２^(c+4d)，ｃ＝０，１，２，３とする．

　　σ（ｎ）＝２^c＋８ｄ−１

これより，ｎ＝１，３，７，また，σ（２ｍ）＝０が得られるというわけですが，これはフルヴィッツ・ラドン数にほかなりません．

　さらに，概平行性について説明すると，たとえば，２次元球面上には，必ず特異点があり，特異点のないベクトル場は存在しない（ホップの定理）のですが，２次元球面から円板をくり抜いてみることにします．そうすると，残りの部分も円板に変形でき，その上には１次独立な２本のベクトル場があるので，平行性をもつことになります．ｎ次元多様体Ｍ^nからｎ次元円板Ｄ^nをくり抜いた部分が平行性をもつことを概平行性をもつというのですが，歯切れの悪い説明で申し訳ありません．

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［まとめ］球面Ｓ^n上に１次独立な接ベクトルの連続場がｎ個あるとき，Ｓ^nは平行性をもつという．平行正をもつのはＳ^1，Ｓ^3，Ｓ^7しかない（アダムス）．

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