■素数の存在区間(その3)

【1】θ(x)≦A1xの証明

 2^k-1≦x<2^kとする.

  (2n,n)<Σ(2n,j)=(1+1)^2n=4^n

区間(n,2n]に現れるすべての素数の積は(2n,n)を割り切るから,

  θ(2n)−θ(n)=Πp≦log(2n,n)<nlog4

  θ(2^k)=Σ{θ(2^j+1)−θ(2^j)}<log4Σ2^j<log4・2^k

  θ(x)≦θ(2^k)<log4・2^k<xlog16

→A1=log16=2.772825

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【2】θ(x)≧A3xの証明

 (2n,n)=(2n)!/(n!)^2

を割り切る素数pの最大ベキは

  Σ([2n/p^k]−2[n/p^k]

和の各項は0または1であるから

  2^n≦2n/n・(2m−1)/(n−1)・・・n/1=(2n,n)≦(2n)^π(2n)

  nlog2≦π(2n)log(2n)

 A3は1/2log2=0.364よりちいさければ,どのような値でも取れることになる.

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