■素数の存在区間(その2)

 1852年,チェビシェフは十分大きなxについて

  π(x)/(x/logx)

が0.92129と1.10555の間にあるという結果を得ています.

  c1x/logx<π(x)<c2x/logx

 チェビシェフの定理は,大きな数の場合,この近似値の誤差は11%以下であるというものですが,もちろん現実にはずっと小さいわけです.

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 以下の不等式も,本質的にチェビシェフの議論に従う.

  θ(x)=Σlogp

  φ(x)=Σθ(x^1/n)

  T(x)=Σlogn=log(x!)

  α(x)<φ(x)<φ(x/6)+α(x)

  A2x≦φ(x)≦A1x

  A3x≦θ(x)≦A1x

  φ(x)≦Σ{φ(x/6^j)−φ(x/6^j+1)}<Σα(x/6^j)

≦0.9353(1+1/6+1/6^2+・・・)x≦1.1224x

  A1=1.1224

同様に,

  A2=0.9072,A3=0.73

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 チェビシェフの漸近評価では

  c1=0.92129,c2=1.10555

であるが,シルベスターはチェビシェフの使った関数よりも複雑な関数を使うことによって

  c1=0.956,c2=1.045  (誤差は5%以下)

  A1=1.10667,A2=0.9926

というよい値を得ています.

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