■四つ子素数

 四つ子素数(p,p+2,p+6,p+8)について,mod3で考えると,pは3n+2型素数でなければならないことがわかる.mod5で考えると,pは5n+1型素数でなければならないことがわかる.

 実は中国剰余定理より,pは30n+11型素数でなければならないのであるが,そのことを示してみよう.

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 連立合同式

  x=1  (mod2)

  x=2  (mod3)

  x=1  (mod5)

を計算しよう.

x=x1+2x2+6x3とおいて,最初の式に代入する.→x1+2x2+6x3=x1=1  (mod2)→x1=1がこの合同式の解である.

→x=1+2x2+6x3を2番目の式に代入する.→1+2x2+6x3=1+2x2=2  (mod3)→2x2=1  (mod3)→x2=2がこの合同式の解である.

→x=5+6x3を3番目の式に代入する.→5+6x3=1  (mod5)→6x3=−4  (mod5)→x3=1がこの合同式の解である.

 x=11となるので,中国剰余定理より連立合同式の解は

  x=11  (mod30)

である.

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 45桁の数,

802,359,150,003,121,605,557,551,380,867,519,560,344,356,971

はそのようなpである.

 これが30n+11型の整数であることを示すのは易しい.

802,359,150,003,121,605,557,551,380,867,519,560,344,356,000

を3桁毎に区切って3の倍数かどうか調べてみると

(+1)(−1)(0)(0)(+1)(−1)(−1)(−1)(−1)(0)(0)(−1)(−1)(−1)(0)であるから3の倍数である.→30の倍数である.

971=960+11=30・210+11→30n+11型整数である.

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