【１】ラマヌジャンの分割数

　τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想，

　　｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)

が証明されています．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式

　　1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2

の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．

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【２】オイラーの分割数

　オイラーの分割数ｐ（ｎ）のおよその大きさを決めるのは難しい問題でしたが，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法による漸近近似式：

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

が与えられています．

　その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

　　λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する

が与えられました（１９３７年）．

　コラム「分割数の漸近挙動」では，p(n)の粗いがそれなりによい評価式を求めていて，それによると

　　exp(2√n)/exp(5)n^2≦p(n)≦exp(π√(2/3n))

したがって，十分大きなｎに対しては

　　exp(c1√n)≦p(n)≦exp(c2√n)

となる評価が得られたことになります．ラマヌジャンの結果より粗いのですが，関数の増加に対するオーダーがわかればそれでよしとしましょう．

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