立方体の２等分体である塹堵を斜めに切ると陽馬と鼈臑（べつどう）へ分解することができる．すなわち，陽馬を切り取った残りが鼈臑であるが，鼈臑は陽馬を２分割することによっても得られる．陽馬を２分割してできる鼈臑は一対の鏡像体をなす．→コラム「陽馬の木工製作（その２）」

　また，立方体の中心を通るように中心から放射状に６分割する．それを正方形面の対角線で４分割した１／２４立方体は左右対称であるが，それをさらに２分割した１／４８立方体は一方が他方の鏡像体になっていて合同にはならない．この１／４８立方体は１／６立方体である鼈臑と相似（相似比１：２）であるから，鏡像体を組み換えると陽馬になる．

　一方，コラム「ボロノイ細胞と平行多面体（その１４）」では中川の六面体（１／２４切頂八面体）の２分割体を紹介した．中川六面体の２分割体は立方体・菱形１２面体・切頂八面体に対する三重の空間充填図形となる．

　鼈臑と同様に，中川六面体の２分割体にも１対の鏡像体がある．陽馬・１／２４立方体・中川六面体は鏡像体をもたない終着点であるから「原子」，鼈臑・１／４８立方体・中川六面体の２分割体などの鏡像体は「原子」というよりも正反の「素粒子」に例えることができる．今回のコラムでは素粒子の組み換えに関する中川宏さんの報告を紹介したい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】鼈臑→１／２４立方体

　１対の鼈臑で陽馬（四角錐），それにもうひとつの鼈臑を組み合わせると塹堵（ぜんと）になる．したがって，３対の鼈臑で立方体ができる．

　一方，１対の鼈臑を鋭角三角形の面で接合させると，陽馬とは異なる多面体にも組み換えることができる．この組み換えで２／６立方体となる三角錐ができるが，この三角錐は１／２４立方体と相似（相似比１：２），２対の鼈臑で工藤の三角錐（２／２４立方体）と相似形になる．

　次に鼈臑を２分割してみることにする．１対の鏡像体から合同な三角錐が４つできる．この三角錐は１／１２立方体となるから，それを２分割（１／２４立方体）し，さらに２分割すると１／４８立方体へ分解することができる．これは相似比１：２の小鼈臑である．したがって，これらの分解操作は無限に繰り返すサイクルをなすことがわかる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】中川六面体の２分割体→鼈臑

　中川六面体の２分割体は三重の空間充填図形である．すなわち，６対の中川六面体の２分割体で立方体ができる．４８対で大立方体（相似比１：２）になる．２４対で切頂八面体，９６対で菱形１２面体ができることは容易に理解されることである．

　この詳細をみていくことにするが，中川六面体の２分割体１対で中川六面体になるものをα接合，それを立体蝶番返しして台形の面で接合させたものをβ接合と呼ぶことにすると

　　　　　　　　立方体　　菱形１２面体　　切頂八面体

　　α接合　　　　×　　　　　　○　　　　　　○

　　β接合　　　　○　　　　　　×　　　　　　○

　鼈臑の場合と同様，もっと面白い組み合わせがある．中川六面体の２分割体の１対でなく，同じもの２個を凧形の面で接合させると鼈臑ができる（γ接合）．したがって，２対で陽馬，６対（３陽馬）で立方体，４８対（２４陽馬）で大立方体，さらに８対（４陽馬）で大立方体の６分割体である四角錐となるから，菱形１２面体も作ることができるのである．

　　　　　　　　立方体　　菱形１２面体　　切頂八面体

　　γ接合　　　　○　　　　　　○　　　　　　×

　以上をまとめると，

　　　　　　　　立方体　　菱形１２面体　　切頂八面体

　　α接合　　　　×　　　　　　○　　　　　　○

　　β接合　　　　○　　　　　　×　　　　　　○

　　γ接合　　　　○　　　　　　○　　　　　　×

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝