■ラマヌジャンのリスト(その3)

  20の約数・・・1,2,4,5,10,20の6個

  21の約数・・・1,3,7,21の4個

  22の約数・・・1,2,11,22の4個

  23(素数)の約数・・・1,23の2個

  24の約数・・・1,2,3,4,6,8,12,24の8個

24未満の数で7個の約数をもつものはなく,まして8個!

 高次合成数2,4,6,12,24,36,48,60,120,・・・には何かパターンがあるのだろうか? ラマヌジャンはそれを発見したのである.

  n=2^a2×3^a3×5^a5×7^a7×・・・×p^ap

高次合成数24,60は

  24=2^3×3^1,a2=3,a3=1

  60=2^2×3^1×5^1,a2=2,a3=1,a5=1

のように表せる.

 また,

  4324320=2^5×3^3×5×7×11×13

  6746328388800=2^6×3^4×5^2×7^2×11×13×17×19×23,a2≧a3≧a5≧・・・≧ap≧1

 a2≧a3≧a5≧・・・≧ap≧1は最後の指数は1になることを示しているが,無数にある高次合成数のなかでただ2つの例外がある.

  4=2^2,36=2^2×3^2

しかし,2^3×3^4×・・・というものは決して存在しない.初等的ではあるが独創的な洞察である.

===================================

[おまけ]

  12=2×2×3・・・素因数は3個

  14=2×7・・・素因数は2個

  16=2×2×2×2・・・素因数は4個

素因数の数はloglognにほぼ等しい.

===================================