２００６年，ラマヌジャン予想（１９１６年）を深化させた佐藤予想の楕円曲線版（佐藤・テイト予想）が，ハーバード大学のリチャード・テイラーによって証明されました．今回のコラムでは，この１００年に一度の大発展を取り上げてみたいと思います．
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【１】ラマヌジャン予想と佐藤予想
ラマヌジャンは，
Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n
ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)
η(z)はデデキントのイータ関数，η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n)
を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．
τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,
τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,
τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･
無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式
Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)
と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式の拡張（２４乗版）と考えられます．
ラマヌジャン数は，オイラーの分割数のアナローグであり，
(1)ｍとｎが素ならば，τ(m)τ(n)＝τ(mn)
τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)
τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)
τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)
(2)τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1))
(3)τ(n)＝（ｎの約数の１１乗の総和） （ｍｏｄ ６９１）
など，驚くような性質をもっています．
１９１６年，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，
Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)
とおくと（オイラー積のアナローグ）
Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)
が成り立つことを予想したのです．
歴史上最初のゼータであるオイラー積
ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)
は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数では，ｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．
また，τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想，
｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)
が証明されています．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式
1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2
の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．
このようにして，
τ(p)＝２ｐ^(11/2)ｃｏｓθp （０≦θp≦π）
なるθpがただひとつとれます．そこで，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角θpが［ａ，ｂ］となる素数密度は
2/π∫(a,b)sin^2θdθ
で与えられるだろうという佐藤幹夫予想がたてられています．すなわち，θp＝π／２のあたりに多く分布していることを予想しているというわけです．
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【２】佐藤・テイト予想
一方，デデキントのイータ関数，
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
において，関数
F(z)=η(z)^2η(11z)^2
=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7+･･･
=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
を考えます．c(n)はF(z)のフーリエ係数です．
c(1)=1,c(2)=-2,c(3)=1,c(4)=2,c(5)=1,c(6)=2,c(7)=-2,･･･
F(z)は，
ad-bc=1,c=0(mod 11)
なる任意の整数a,b,c,dに対して
F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)
を満たします．このとき，F(z)は重さ２の保型形式をもつといいます．
また，F(z)のフーリエ係数c(n)を使って，ディリクレ級数
φ(s)=Σc(n)/n^s
を定義します．ディリクレ級数はリーマンのゼータ関数
ζ(s)=Σ1/n^s
を一般化したものです．
楕円曲線ＥのＬ関数（後述）
L(s;Ｅ)=Π{1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s)}^(-1)
の積Πは１１以外のすべての素数をわたります．ラマヌジャンは，このとき，
L(s;Ｅ)=φ(s)
を予想しています．この予想はヘッケによって証明されました（１９３７年）．
また，c(p)はｐに比べて小さく，
｜c(p)｜≦２√ｐ
を満たすことが証明されています（アイヒラー，１９５４年）．
そこで，
ｃｏｓθp＝c(p)／２√ｐ，c(p)=２√ｐｃｏｓθp
とおくと，数論における楕円曲線のヴェイユ・ゼータに関する佐藤（幹夫）予想とは，楕円曲線Ｅの位数の分布に関するもので，Ｅが虚数乗法をもたないとき，偏角θpが任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度：
＃｛ｐ≦ｘ；ａ＜θp＜ｂ｝／π（ｘ） 〜 2/π∫(a,b)sin^2θdθ
すなわち，その角分布はｓｉｎ^2θに比例するであろうというものです．
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【３】有限体上の楕円曲線とＬ関数
ここでは有限体上の楕円曲線について説明しますが，まず，整数を法ｐで考えた有限体Ｆpの上の３次方程式の群の位数について考察します．係数をＦpにもつ３次方程式
ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）
を考えて，非特異であるための必要十分条件は，ｐ≠２，かつ，Ｆpの元として（ｍｏｄ ｐで）
２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０
です．
一般論に進む前に，具体例を掲げておきましょう．有限体Ｆ5上の非特異３次曲線
ｙ^2＝ｘ^3＋ｘ＋１＝ｆ（ｘ）
について，
ｆ（０）＝１（平方剰余） → ｙ＝±１
ｆ（１）＝３（平方非剰余）
ｆ（２）＝１１＝１（平方剰余） → ｙ＝±１
ｆ（３）＝３１＝１（平方剰余） → ｙ＝±１
ｆ（４）＝６９＝４（平方剰余） → ｙ＝±２
ですから，無限遠点を含めて９つの点が見つかります．可換群の構造が入るのは，有限体Ｆpにおいても同様で，この場合，位数９の可換群となります．
一般のＦpについて，Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝を方程式：ｙ^2＝ｆ（ｘ）に代入してみましょう．すると
(1)ｆ（ｘ）＝０なら１つだけの解ｙ＝０がある．
(2)ｆ（ｘ）≠０ならｆ（ｘ）のとり得る０でない値の半分に対して，ｙとして２つの解がある．したがって，
Ｃ：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）
の有限体Ｆpにおける群の位数（元の個数）＃Ｅ（Ｆp）は，ｆ（ｘ）の値が平方と非平方に均等に分布していれば，およそｐ＋１個の点が期待できます．
よって，解の個数は，
＃Ｅ（Ｆp）＝ｐ＋１＋（誤差項）＝ｐ＋１＋Ｍp
の形になることがわかります．
c(p)＝−Ｍp
で定義することにしますが，次の関数
L(s;Ｅ)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)
を楕円曲線ＥのＬ関数といいます．
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【４】佐藤・テイト予想の解決
角分布がsin^2θに比例するという佐藤予想の最初の記述は，資料によると，昭和３８年（１９６３年）のことなのですが，ｓｉｎ^2予想でｔ＝ｃｏｓθとおけば，
偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度 〜 2/π∫(α,β)√(1-t^2)dt
となりますから，これも１種の半円則となっていることがわかります．
佐藤・テイト予想には，多くの言い換えがあって，
(1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０
の解を
ｘ＝√ｐｅｘｐ（ｉθ）＝√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）
とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する
(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する
(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である
といっても同じことです．
佐藤予想は現在も未解決で，リーマン予想に匹敵する予想であるといわれています．ところが，驚いたことに２００６年になって，ハーバード大学のリチャード・テイラーによって佐藤予想の楕円曲線版（佐藤・テイト予想と呼ばれる）が証明されました．佐藤予想そのものの証明ではないにせよ，１００年に一度の大発展といえるのです．
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