１週間ほど中国に滞在した後パソコンが壊れたため，しばらく掲載をお休みしていのだが，薄れかけた記憶をたどりながら再開することにしたい．
ルーローの四角形は擬内転形であるが，頂点の位置が１％ずれただけでも内転形でないことが一目瞭然となる．このことから内転形からのズレはごくわずかであることがわかる．今回のコラムでは（その４２）で場合分けが煩雑となり中断した五角の穴をあけるドリルの内転形からの誤差を計算してみることにした．
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【１】パラメータの説明
ルーローのｎ−１角形（ｎは奇数）の円弧の中心角を２α，頂角をβとする．
α＝ａｒｃｔａｎ（１／２・ｔａｎπ／（ｎ−１））
β＝２ａｒｃｔａｎ（１／２・ｔａｎπ／（ｎ−１））＋π（ｎ−３）／（ｎ−１）
ω＝２π／ｎ
ｎ＝５ → α＝２６．５６５°，β＝１４３．１３°，ω＝７２°
また，正ｎ角形の高さをＨ，正ｎ角形の内接円の半径をｒ1，ルーローのｎ−１角形の弧の曲率半径ｒ0，中心角を２α，正ｎ−１角形の内接円の半径をｒ2とおくと，
ｒ0ｃｏｓα＝２ｒ2
ｒ0（１＋ｓｉｎαｔａｎπ／ｎ）＝ｒ1（１＋ｓｅｃπ／ｎ）＝Ｈ
ｎ＝５ → ｒ0＝Ｈ／（１＋ｓｉｎαｔａｎπ／５）
ｒ1＝Ｈ／（１＋ｓｅｃπ／５）
ｒ2＝Ｈｃｏｓα／２（１＋ｓｉｎαｔａｎπ／５）
ルーローの四角形は区分毎に円弧を接続した曲線であるが，接線極座標を用いると各部分の継ぎ目でθをジャンプさせずに接続させることができる．区間毎の接線極座標表示を
ｐ1（θ）＝ｒ0−ｒ0ｃｏｓθ
ｐ2（θ）＝−（ｒ0−２ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
ｐ3（θ）＝ｒ0−（ｒ0−ｒ2）ｃｏｓθ−ｒ2ｓｉｎθ
ｐ4（θ）＝−ｒ0ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
ｐ5（θ）＝ｒ0−（ｒ0−２ｒ2）ｃｏｓθ
ｐ6（θ）＝−ｒ0ｃｏｓθ−ｒ2ｓｉｎθ
ｐ7（θ）＝ｒ0−（ｒ0−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
ｐ8（θ）＝−（ｒ0−２ｒ2）ｃｏｓθ−ｒ2ｓｉｎθ
ｐ9（θ）＝ｒ0−ｒ0ｃｏｓθ＝ｐ1（θ）
とおいて，絶対誤差
ｆ（θ）＝Σ(k=0~n-1)ｐ（θ＋ｋω）−ｎｒ1
と相対誤差
ｇ（θ）＝ｆ（θ）／ｎｒ1
を計算してみる．ここでは，Ｈ＝１０とおいて誤差を求めることにした．
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【２】区間毎計算
(1)０≦θ≦７α＋３（π−β）−４ω（8.565）のとき
ｆ（θ）＝ｐ1（θ）＋ｐ3（θ＋ω）＋ｐ4（θ＋２ω）＋ｐ6（θ＋３ω）＋ｐ7（θ＋４ω）−５ｒ1
(2)７α＋３（π−β）−４ω≦θ≦３α＋２（π−β）−２ω（9.435）のとき
ｆ（θ）＝ｐ1（θ）＋ｐ3（θ＋ω）＋ｐ4（θ＋２ω）＋ｐ6（θ＋３ω）＋ｐ8（θ＋４ω）−５ｒ1
(3)３α＋２（π−β）−２ω≦θ≦α（26.565）のとき
ｆ（θ）＝ｐ1（θ）＋ｐ3（θ＋ω）＋ｐ5（θ＋２ω）＋ｐ6（θ＋３ω）＋ｐ8（θ＋４ω）−５ｒ1
(4)α≦θ≦５α＋３（π−β）−３ω（27.435）のとき
ｆ（θ）＝ｐ2（θ）＋ｐ3（θ＋ω）＋ｐ5（θ＋２ω）＋ｐ6（θ＋３ω）＋ｐ8（θ＋４ω）−５ｒ1
(5)５α＋３（π−β）−３ω≦θ≦３α＋（π−β）−ω（44.565）のとき
ｆ（θ）＝ｐ2（θ）＋ｐ3（θ＋ω）＋ｐ5（θ＋２ω）＋ｐ7（θ＋３ω）＋ｐ8（θ＋４ω）−５ｒ1
(6)３α＋（π−β）−ω≦θ≦７α＋４（π−β）−４ω（45.535）のとき
ｆ（θ）＝ｐ2（θ）＋ｐ3（θ＋ω）＋ｐ5（θ＋２ω）＋ｐ7（θ＋３ω）＋ｐ8（θ＋４ω）−５ｒ1
(7)７α＋４（π−β）−４ω≦θ≦５α＋２（π−β）−２ω（62.565）のとき
ｆ（θ）＝ｐ2（θ）＋ｐ4（θ＋ω）＋ｐ5（θ＋２ω）＋ｐ7（θ＋３ω）＋ｐ9（θ＋４ω）−５ｒ1
(8)５α＋２（π−β）−２ω≦θ≦α＋（π−β）（63.435）のとき
ｆ（θ）＝ｐ2（θ）＋ｐ4（θ＋ω）＋ｐ6（θ＋２ω）＋ｐ7（θ＋３ω）＋ｐ9（θ＋４ω）−５ｒ1
(9)α＋（π−β）≦θ≦ω（72）のとき
ｆ（θ）＝ｐ3（θ）＋ｐ4（θ＋ω）＋ｐ6（θ＋２ω）＋ｐ7（θ＋３ω）＋ｐ9（θ＋４ω）−５ｒ1
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【３】計算結果のまとめ
パソコンが壊れたこともあって，実際の数値計算は阪本ひろむ氏に担当してもらった．予想通り，「ルーローの四角形」の内転形からの相対誤差は１％未満であり，その変動幅はさらに小さかった．
この結果から，おそらくどのような円弧四角形も内転形にはならないものと思われる．しかしながら「ルーローの四角形」の内転形からの誤差はすこぶる小さいことがわかっただけでもその価値は大きいはずである．
なお，円弧から構成されている内転形（ルーロー曲線）を調べてきたが，どんな内転形も円弧から構成されていると誤解してはならない．フルヴィッツ・藤原曲線のように円弧でない内転形も存在するのである．
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