■19四乗数定理(その4)

[1]任意の整数はたかだか9個の3乗数の和として表される.

[2]十分大きな整数はたかだか7個の3乗数の和として表される.

[3]ほとんどすべての整数はたかだか4個の3乗数の和として表される.

[1]任意の整数はたかだか19個の4乗数の和として表される.

[2]十分大きな整数はたかだか16個の4乗数の和として表される.

[1]任意の整数はたかだか143個の7乗数の和として表される.

[2]十分大きな整数はたかだか137個の7乗数の和として表される.

[1]任意の整数はたかだか279個の8乗数の和として表される.

[2]十分大きな整数はたかだか163個の8乗数の和として表される.

 ここでは,ウェアリングの問題のもうひとつの一般化について考えてみます.

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 4^k(8n+7)の形の数は4個の2乗を必要とする(たとえば,7=2^2+1^2+1^2+1^2)のに対して,9個の3乗を必要とする数は,たった2つの場合だけが知られています.

  23=2・2^3+7・1^3

 239=2・4^3+4・3^3+3・1^3

そして,1939年,ディクソンは23,239以外の整数はすべて8個の3乗数の和で書けることを示しています.また,8個の立方数の和として表せない自然数は15,22,50,114,169,175,186,212,231,238,303,364,420,428,454の15個だけです.

 23と239を除くすべての整数が8個以下の立方数の和として表せる,また,454より大きいすべての整数が7個以下の立方数の和として表せる・・・

 79などを除くすべての整数が19個より少ない4乗数の和として表せる,

  79=4・2^4+15・1^4

たった7つの数だけが19個の4乗数を必要とする.559はそれらの中で最大のものである.

  559=4^4+4^4+2^4+2^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4

 このことから,十分に大きなすべてのnに対して,G(k)個のk乗数の和として表すことができる最小の正の整数G(k)が定義されます.定義よりG(k)≦g(k)ですが,この問題はウェアリングの問題のもうひとつの一般化となっています.

 現在まで,4≦G(3)≦7,G(4)=16,6≦G(5)≦17,9≦G(6)≦24,8≦G(8)≦33,13≦G(9)≦50,12≦G(10)≦59の結果が知られています.

 また,1937年,フアは十分に大きなすべてのnに対して,H(k)個の素数のk乗数の和として表すことができる最小の正の整数H(k)が存在することを示しました.1987年,タノガサラムはH(5)≦23,H(6)≦33,H(7)≦47,H(8)≦63,H(9)≦83,H(10)≦103を示したのですが,ヴィノグラドフがH(1)≦3,フアがH(2)≦5,H(3)≦9を既に示しており,現在までH(4)≦14,H(5)≦21が川田,ウーリーによって,H(7)≦46が川田,クムチェフによって得られています.

  [参]Tattersall「初等整数論9章」森北出版

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