【１】ミンコフスキーの不等式（正定値ｎ元２次形式の最小値の上界）

　ミンコフスキーもｎ元２次形式を考え，与えられた判別式をもつｎ元２次形式の最小値に対する上界Ｍが

　　Ｍ＜Ａn｜Ａ｜^1/n　　　（Ａn＝４（Γ(n/2+1)）^2/n／π）

で与えられることを証明しました．この結果はエルミートのものより精密です．

　ガンマ関数の漸近表示を用いれば

　　Ｍ＜２ｎ√ｎπｅ^1/3n／πｅ・｜Ａ｜^1/n〜０．２３４ｎ√ｎπｅ^1/3n・｜Ａ｜^1/n

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【２】一般の格子に対するミンコフスキーの格子点定理

　ｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積

　　｛λ1ｘ1＋λ2ｘ2＋・・・＋λnｘn：０≦λi≦１｝

について述べておきます．

　写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となります．また，グラミアン

　　Ｇ＝｜Ａ｜^2

が成立しますから，平行２ｎ面体のｎ次元体積は

　　｜Ｇ｜^(1/2)＝｜Ａ｜

で与えられます．

　したがって，Λを体積Δをもつ格子とすると

ミンコフスキーの定理から，

　　（中心対称凸体の体積）＞２^nΔ

ならば，内部あるいは境界上に格子点が必ず存在することになります．

　単位球の体積：Ｂ^n＝π^n/2／Γ（ｎ／２＋１），ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2≦λ^2の体積はλ^nＢ^nですから，与えられた判別式をもつｎ元２次形式の最小値に対する上界Ｍが

　　Ｍ＜Ａn｜Ａ｜^1/n　　　（Ａn＝４（Γ(n/2+1)）^2/n／π）

で与えられることが証明されます．この結果はエルミートのものより精密です．

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