モジュラ関数

　　ｊ（ｚ）＝ｅｘｐ（−２ｉπｚ）＋７４４＋１９６８８４ｅｘｐ（２ｉπｚ）＋・・・

において，

　　ｊ（ｉ）＝１７２８＝１２^3

この性質が次の逸話のもとになっている．

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　数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンはそれは２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

　フレニクルは１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3のほかにも

　　９^3＋１５^3＝２^3＋１６^3

　　１５^3＋３３^3＝２^3＋３４^3

　　１６^3＋３３^3＝９^3＋３４^3

　　１９^3＋２４^3＝１０^3＋２７^3

を見つけている．

　２つの４乗数の和で２通りに表される最小の数は，

　　６３５３１８６５７＝１５８^4＋５９^4＝１３３^4＋１３４^4

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　なお，３つの平方数の和で表される最小の平方数は，

　　８１＝９^2＝１^2＋４^2＋８^2

ですが，３つの立方数の和で表される最小の立方数は，

　　２１６＝６^3＝３^3＋４^3＋５^3

２番目の数は

　　９^3＝１^3＋６^3＋８^3＝１^3＋３^3＋４^3＋５^3＋８^3

３つの４乗数の和で表される４乗数は，

　　４２２４８１^4＝９５８００^4＋２１７５１９^4＋４１４５６０^4　　（オイラー予想の反例）

４つの連続した数の３乗の和で表される立方数は

　　８０００＝２０^3＝１１^3＋１２^3＋１３^3＋１４^3

６４個の連続した数の３乗の和で表される立方数は

　　１０８^3＝６^3＋７^3＋・・・＋６８^3＋６９^3

１０００個の連続した数の３乗の和で表される立方数は

　　１６８３０^3＝１１３４^3＋・・・＋２１３３^3

２つの３乗数の和で３通りに表される最小の数は，

　　８７５３９３１９＝１６７^3＋４３６^3＝２２８^3＋４２３^3＝２５５^3＋４１４^3

２番目の数は

　　１７５９５９０００＝５６０^3＋７０^3＝５２５^3＋３１５^3＝５５２^3＋１９８^3

３５１２０^3は（３，４，５，６，７，８）個の３乗数の和で表せる．

３つの４乗数の和で２通りに表される最小の数は，

　　６５７８＝１^4＋２^4＋９^4＝３^4＋７^4＋８^4

４つの４乗数の和で表される最小の４乗数は，

　　３５３^4＝３０^4＋１２０^4＋２７２^4＋３１５^4

２番目の数は

　　６５１^4＝２４０^4＋３４０^4＋４３０^4＋５９９^4

５つの４乗数の和で表される最小の４乗数は，

　　１５^4＝４^4＋６^4＋８^4＋９^4＋１４^4

４つの５乗数の和で表される最小の５乗数は，

　　１４４^5＝２７^5＋８４^5＋１１０^5＋１３３^5　　（オイラー予想の反例）

６つの５乗数の和で表される最小の５乗数は，

　　１２^5＝４^5＋５^5＋６^5＋７^5＋９^5＋１１^5

３つの５乗数の和で２通りに表される知られている数は，

　　１３７５２９８０９９＝２４^5＋２８^5＋３７^5＝３^5＋５４^5＋６２^5

７つの６乗数の和で表される知られている最小の６乗数は，

　　１１４１^6＝７４^6＋２３４^6＋４０２^6＋４７４^6＋７０２^6＋８９４^6＋１０７７^6

３つの６乗数の和で２通りに表される知られている唯一の数は，

　　１６０４２６５１４＝３^6＋１９^6＋２２^6＝１０^6＋１５^6＋２３^6

８つの７乗数の和で表される最小の７乗数は，

　　１０２^7＝１２^7＋３５^7＋５３^7＋５８^7＋６４^7＋８３^7＋８５^7＋９０^7

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