アルキメデスのアルベロス円列は２つずつ接する３つの円に対し，３つの円に接する円を次々に描き加えていくものであるが，フォードの円列は最初の３つの円のうち１つが直線（半径∞の円）に変わったものである．
一般に３つの円に接する４つ目の円を描く問題が「アポロニウスの問題」であり，この操作を無限に繰り返してできる図形をアポロニウスのガスケットという．フォードの円列，アルキメデスのアルベロス円列はアポロニウスのガスケットの特別な場合になっている．
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【１】フォードの円列
フォードの円列と直線との接点は常に有理数であり，区間［０，１］のすべての有理数はフォードの円列とｘ軸との接点として得られる．
たとえば，ｘ^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2と（ｘ−１）^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2によって表されるような２円から始め，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数
（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）
を挿入すると，ファレイ数列
［０／１，１／１］
→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）
→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）
→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）
→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）
が得られる．
ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものである．たとえば，位数４のファレイ数列は
［・・・，０／１，１／４，１／３，１／２，２／３，３／４，１／１，・・・］
位数６のファレイ数列は
［・・・，０／１，１／６，１／５，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，４／５，５／６，１／１，・・・］
位数７のファレイ数列は
［・・・，０／１，１／７，１／６，１／５，１／４，２／７，１／３，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，２／３，５／７，３／４，４／５，５／６，６／７，１／１，・・・］
位数ｎのファレイ数列の長さは，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，
１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）
〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2
になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていく．
０と１の間にある既約分数で分母かｎを越えない分数というだけでなく，わざわざ分子まで入れてある理由は，ファレイ数列を拡張させるためである．たとえば，位数５のファレイ数列は
［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１，５／４，４／３，３／２，５／３，２／１，５／２，３／１，４／１，５／１］
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【２】ファレイ数列とディオファントス近似
ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．すなわち，交差積ｍ1ｎ2とｍ2ｎ1は連続する整数になる．
また，フォードの円列では（ｍ1／ｎ1，１／２ｎ1^2）を中心とする半径１／２ｎ1^2の円と（ｍ2／ｎ2，１／２ｎ2^2）を中心とする半径１／２ｎ2^2の円が接することになる．フォードの円列は重なり合うことはなく，この２つの円の間に入る一番大きな円はその中間分数（ｍ1＋ｍ2）／（ｎ1＋ｎ2）の円である．
フォードの円列において，直線ｙ＝１は∞＝１／０に対応すると解釈しよう．すると，有理数ｐ／ｑに対応するフォードの円は半径１／２ｑ^2で，ｘ軸上の点ｐ／ｑにおいて接する円となる．
同様に分母が高々ｄの有理数からなる位数ｄのファレイ数列の各項は１／ｄ^2≦ｙ＜１／（ｄ＋１）^2の任意の水平線と交わるフォードの円と対応することになる．
これにより，いくつかのディオファントス近似に関する定理は，（双曲）幾何学的に自明なものとなる．たとえば，任意の無理数αに対して
｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2
を満たすものが無数に存在するという定理がそうである．直線ｘ＝αが連接する２つのフォードの円ｐ／ｑ，ｒ／ｓのどちらか一方に交わる．それがｐ／ｑであるとすると｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2が成り立たなければならないからである．
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［補］フルヴィッツの定理
連続する２つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1とすると，それらのうち一方は｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2を満たす．連続する３つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1，ａn+2／ｂn+2とすると，それらのうち少なくともひとつは
｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす．
この結果から「フルヴィッツの定理」
｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在する．
を証明することができる．
この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，黄金比φのようにαの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数を除外すれば，フルヴィッツの定理は√５の代わりに√８を用いても成り立つ．
｜α−ａ／ｂ｜＜１／√８ｂ^2
→コラム「無理数・代数的数・超越数（その５）」参照
次に問題になるのは√２のようなαの連分数展開が有限個を除いてすべて２になる無理数で，それを除くと定理を
｜α−ａ／ｂ｜＜１／√（２２１／２５）ｂ^2
に改良できる．
同様の改良を続けていったときの定数√５，√８，√（２２１／２５），・・・がラグランジュ数である．それらは
√（９−４／ｍ^2）
において，それぞれｍ＝１，２，５とおいたものである．
ｍ＝１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・
はマルコフ数と呼ばれる．マルコフ数は２次のディオファントス方程式
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ
の解として現れる．たとえば（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・
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【３】等角同値
フォードの円列では群ＰＳＬ（２，Ｚ），すなわち，上半平面から上半平面への写像
ｚ → （ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）
ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数，ａｄ−ｂｃ＝１
全体のなす群を考えたが，群ＳＬ（２，Ｚ）とＧＬ（２，Ｚ）の有理数への作用は，たとえば，等角写像
ｚ → （ｚ−ｉ）／（ｚ＋ｉ）
により上半平面からポアンカレ円板に写して考えると，ユークリッド幾何学的なフォードの円は双曲幾何学的な円板の境界に接する円となる．
アポロニウスのガスケットは自己相似性をもつ図形であるが，２つのアポロニウスのガスケットは１次分数変換で写り合う等角同値な図形でもあることになる．
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