■15定理と290予想(その4)

 ラグランジュの定理:どんな自然数でも

  x^2+y^2+z^2+w^2

の形に書ける.それでは,どんな自然数でも

  x^2+2y^2+3z^2+4w^2

で書けるだろうか?

 それらは

  x^2+y^2+z^2+w^2からx^2+2y^2+5z^2+10w^2まで

すべてAx^2+By^2+Cz^2+Dw^2の形をしていて,54通りあることが知られている(ラマヌジャン).

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【1】ラマヌジャンのリスト(A,B,C,D)

 (1,1,1,1),(1,1,1,2),(1,1,1,3)

 (1,1,1,4),(1,1,1,5),(1,1,1,6)

 (1,1,1,7),(1,1,2,2),(1,1,2,3)

 (1,1,2,4),(1,1,2,5),(1,1,2,6)

 (1,1,2,7),(1,1,2,8),(1,1,2,9)

 (1,1,2,10),(1,1,2,11),(1,1,2,12)

 (1,1,2,13),(1,1,2,14),(1,1,3,3)

 (1,1,3,4),(1,1,3,5),(1,1,3,6)

 (1,2,2,2),(1,2,2,3),(1,2,2,4)

 (1,2,2,5),(1,2,2,6),(1,2,2,7)

 (1,2,3,3),(1,2,3,4),(1,2,3,5)

 (1,2,3,6),(1,2,3,7),(1,2,3,8)

 (1,2,3,9),(1,2,3,10),(1,2,4,4)

 (1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,4,7)

 (1,2,4,8),(1,2,4,9),(1,1,2,9)

 (1,2,4,10),(1,2,4,11),(1,2,4,12)

 (1,2,4,13),(1,2,4,14),(1,2,5,6)

 (1,2,5,7),(1,2,5,8),(1,2,5,9)

 (1,2,5,10)

 どんな自然数でも

  x^2+2y^2+3z^2+4w^2

で書けるのである.

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【2】15定理の素数版

 コンウェイの「15定理」はある2次形式が1から15までの数を表現できるならば,それはすべての自然数を表現できることを示した.

 その素数版の定理がある.ある2次形式が73までの素数を表現できるならば,それはすべての素数を表現できる(バールガバ).

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