奇数ｎ角の穴をあけるドリルについて「円弧の中心はｎ−１角形の辺の中点」という記述が誤りではないかと思い始めたのは，皮肉なことにその証明をしている最中であった．
まず「円弧の中心は辺を中心角π／（ｎ−１）で見込む点」が正しいのではと思われたのだが，そうであればルーローの偶数角形（ｎ≧４）でも奇数角形と同じ式となる．このことはこのシリーズが始まったとき真っ先に考えたことであった．そのアイディアは，ｎ＝３の場合，すなわち，藤原・掛谷の二角形にはあてはまらないことから棄却したが，ここで再考することにした．
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【１】内転形であることの証明（？）
円弧の中心が辺の中点にある場合の中心角は
２α＝２ａｒｃｔａｎ（１／２・ｔａｎπ／（ｎ−１））
で与えられるが，これとπ／（ｎ−１）を比較してみると，
ｎ＝５ → ２α＝53.1301° （４５°）
ｎ＝７ → ２α＝32.2042° （３０°）
ｎ＝９ → ２α＝23.4018° （２２．５°）
となって，辺を中心角π／（ｎ−１）で見込む点は正（ｎ−１）角形の外部に位置する点となる．
ｎ→∞のとき
２α＝２ａｒｃｔａｎ（１／２・ｔａｎπ／（ｎ−１）） → π／（ｎ−１）となる．目測ではｎ＝７のときでも両者の区別はつかないだろうと思われる．
「円弧の中心は辺を中心角π／（ｎ−１）で見込む点」が正しいとして，（その４２）の続きから証明を始める．
(1)０≦θ≦π／４０，１６π／４０≦θ＋ω≦１７π／４０，３２π／４０≦θ＋２ω≦３３π／４０，４８π／４０≦θ＋３ω≦４９π／４０，６４π／４０≦θ＋４ω≦６５π／４０
→ ｐ（θ）＝ｒa−ｒaｃｏｓθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋ω）−ｒbｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋２ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋３ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋４ω）＋ｒbｓｉｎ（θ＋４ω）
(2)π／４０≦θ≦３π／４０，１７π／４０≦θ＋ω≦１９π／４０，３３π／４０≦θ＋２ω≦３５π／４０，４９π／４０≦θ＋３ω≦５１π／４０，６５π／４０≦θ＋４ω≦６７π／４０
→ ｐ（θ）＝ｒa−ｒaｃｏｓθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋ω）−ｒbｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋２ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋３ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓ（θ＋４ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋４ω）
(3)３π／４０≦θ≦５π／４０，１９π／４０≦θ＋ω≦２１π／４０，３５π／４０≦θ＋２ω≦３７π／４０，５１π／４０≦θ＋３ω≦５３π／４０，６７π／４０≦θ＋４ω≦６９π／４０
→ ｐ（θ）＝ｒa−ｒaｃｏｓθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋ω）−ｒbｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋２ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓ（θ＋４ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋４ω）
(4)５π／４０≦θ≦７π／４０，２１π／４０≦θ＋ω≦２３π／４０，３７π／４０≦θ＋２ω≦３９π／４０，５３π／４０≦θ＋３ω≦５５π／４０，６９π／４０≦θ＋４ω≦６１π／４０
→ ｐ（θ）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋ω）−ｒbｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋３ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓ（θ＋４ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋４ω）
(5)７π／４０≦θ≦９π／４０，２３π／４０≦θ＋ω≦２５π／４０，３９π／４０≦θ＋２ω≦４１π／４０，５５π／４０≦θ＋３ω≦５７π／４０，７１π／４０≦θ＋４ω≦７３π／４０
→ ｐ（θ）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋ω）−ｒbｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋３ω）＋ｒbｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓ（θ＋４ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋４ω）
(6)９π／４０≦θ≦１１π／４０，２５π／４０≦θ＋ω≦２７π／４０，４１π／４０≦θ＋２ω≦４３π／４０，５７π／４０≦θ＋３ω≦５９π／４０，７３π／４０≦θ＋４ω≦７５π／４０
→ ｐ（θ）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋３ω）＋ｒbｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓ（θ＋４ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋４ω）
(7)１１π／４０≦θ≦１３π／４０，２７π／４０≦θ＋ω≦２９π／４０，４３π／４０≦θ＋２ω≦４５π／４０，５９π／４０≦θ＋３ω≦６１π／４０，７５π／４０≦θ＋４ω≦７７π／４０
→ ｐ（θ）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋３ω）＋ｒbｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝ｒa−ｒaｃｏｓ（θ＋４ω）
(8)１３π／４０≦θ≦１５π／４０，２９π／４０≦θ＋ω≦３１π／４０，４５π／４０≦θ＋２ω≦４７π／４０，６１π／４０≦θ＋３ω≦６３π／４０，７７π／４０≦θ＋４ω≦７９π／４０
→ ｐ（θ）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋３ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝ｒa−ｒaｃｏｓ（θ＋４ω）
(9)１５π／４０≦θ≦１６π／４０，３１π／４０≦θ＋ω≦３２π／４０，４７π／４０≦θ＋２ω≦４８π／４０，６３π／４０≦θ＋３ω≦６４π／４０，７９π／４０≦θ＋４ω≦２π
→ ｐ（θ）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓθ−ｒbｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋３ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝ｒa−ｒaｃｏｓ（θ＋４ω）
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【２】内転形であることの証明（？）
このように場合分けはかなり複雑になる．ここまでくると「円弧の中心は辺を中心角π／（ｎ−１）で見込む点」ではなく「円弧の中心は辺を中心角π／ｎで見込む点」が正しいのではないかと気づかされる．２αとπ−βが簡単な整数比の関係になっていることに加えて，αとω＝２π／ｎも有理数倍の関係であることが必要だからである．
中心角αがα＝π／ｎに等しいとすると
(1)０≦θ≦π／１０，４π／１０≦θ＋ω≦５π／１０，８π／１０≦θ＋２ω≦９π／１０，１２π／１０≦θ＋３ω≦１３π／１０，１６π／１０≦θ＋４ω≦１７π／１０
→ ｐ（θ）＝ｒa−ｒaｃｏｓθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋ω）−ｒbｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋２ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋３ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓ（θ＋４ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋４ω）
(2)π／１０≦θ≦２π／１０，５π／１０≦θ＋ω≦６π／１０，９π／１０≦θ＋２ω≦π，１３π／１０≦θ＋３ω≦１４π／１０，１７π／１０≦θ＋４ω≦１８π／１０
→ ｐ（θ）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋３ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓ（θ＋４ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋４ω）
(3)２π／１０≦θ≦３π／１０，６π／１０≦θ＋ω≦７π／１０，π≦θ＋２ω≦１１π／１０，１４π／１０≦θ＋３ω≦１５π／１０，１８π／１０≦θ＋４ω≦１９π／１０
→ ｐ（θ）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｒa−（ｒa−２ｒb）ｃｏｓ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋３ω）＋ｒbｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓ（θ＋４ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋４ω）
(4)３π／１０≦θ≦４π／１０，７π／１０≦θ＋ω≦８π／１０，１１π／１０≦θ＋２ω≦１２π／１０，１５π／１０≦θ＋３ω≦１６π／１０，１９π／１０≦θ＋４ω≦２π
→ ｐ（θ）＝−（ｒa−ｒb−ｒ2）ｃｏｓθ＋ｒ2ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋ω）＋ｒ2ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝−（ｒa−ｒb＋ｒ2）ｃｏｓ（θ＋２ω）−ｒ2ｓｉｎ（θ＋２ω）
→ ｐ（θ＋３ω）＝ｒa−（ｒa−ｒb）ｃｏｓ（θ＋３ω）＋ｒbｓｉｎ（θ＋３ω）
→ ｐ（θ＋４ω）＝ｒa−ｒaｃｏｓ（θ＋４ω）
これで大分すっきりした．
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＋ｐ（θ＋３ω）＋ｐ（θ＋４ω）＝定数
であるかどうかの検討は計算時間の関係で次回に譲る．
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